[논문 리뷰] Mathematical aspect of the combinatorial game "Mahjong"

Yuan Cheng, Chi-Kwong Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 23.

Artificial Intelligence in Games참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 조합 이론과 파이썬 기반 계산을 활용해 마작 손패를 분석하며, 특히 '구문문'(Nine Gates) 손패에 초점을 맞춘다. '구문문' 손패는 9개의 도자기 테일(1~9) 중 어떤 하나를 추가해도 승리할 수 있는 유일한 13장 손패로 여겨진다. 연구는 '구문문' 손패의 유일성을 확인하고, '팔문문'(Eight Gates), '칠문문'(Seven Gates), 관련 구조를 체계적으로 탐색하며 놀라운 조합적 구조와 확률을 드러내며, 인공지능 기반 게임 플레이 및 타일 기반 게임의 수학적 모델링에 영향을 미친다.

ABSTRACT

We illustrate how one can use basic combinatorial theory and computer programming technique (Python) to analyze the combinatorial game: Mahjong. The results confirm some folklore concerning the game, and expose some unexpected results. Related results and possible future research in connection to artificial intelligence are mentioned. Readers interested in the subject may further develop the techniques to deepen the study of the game, or study other combinatorial games.

연구 동기 및 목표

• 마작의 전설적인 주장인 '구문문' 손패가 9개의 도자기 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리할 수 있는 유일한 13장 손패임을 수학적으로 검증하는 것.
• 8개 이하의 추가 테일로 승리가 가능한 '팔문문' 및 하위 게이트 손패의 존재성과 개수를 조사하는 것.
• 조합적 열거와 파이썬을 활용한 계산 프레임워크를 개발하여 마작에서 승리 손패 구성 요소를 체계적으로 분석하는 것.
• 36장의 도자기 테일에서 14장 또는 17장의 카드를 랜덤으로 뽑을 때 승리 손패를 형성할 확률을 계산하여 게임 설계 및 인공지능 평가에 대한 정량적 기준을 제공하는 것.

제안 방법

• 13장의 손패를 1~9의 테일 랭크(각각 최대 4장까지)로 나누는 정수 분할로 모델링하고, 유효한 조합의 수를 계산하기 위해 다항계수를 사용한다.
• 파이썬 프로그램을 구현하여 36장의 도자기 테일에서 가능한 모든 13장 손패를 열거하고, 각 손패가 '게이트' 성질을 갖는지 테스트한다. 즉, 9개의 테일 랭크 중 어느 하나를 추가하면 승리 손패가 되는지 여부를 확인한다.
• 조합적 제약 조건을 활용해 유효한 승리 손패의 구조를 식별한다: 한 쌍과 네 개의 조합(풍, 챠우)으로 구성되며, 풍은 동일한 테일 3장, 챠우는 같은 Suit의 연속된 3장의 테일로 정의된다.
• 확률 이론을 적용하여 36장의 도자기 테일에서 14장 또는 17장의 카드를 임의로 뽑을 때 승리 손패를 형성할 확률을 계산한다.
• 대칭성과 구조적 제약 조건을 활용해 계산 부담을 줄이고, 여러 테일 추가 시 '게이트' 조건을 만족하는 손패에 집중한다.
• 기존에 알려진 패tern과 비교하여 결과를 검증하고, 16장 손패로 확장하여 고게이트 구성 요소를 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마작에서 '구문문' 손패는 9개의 도자기 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리 손패로 완성될 수 있는 유일한 13장 손패인가?
• RQ2 8개의 특정 도자기 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리 손패로 완성되는 '팔문문' 손패는 총 몇 가지 존재하는가?
• RQ3 36장의 도자기 테일에서 14장의 카드를 뽑을 때 승리 손패를 형성할 확률은 얼마이며, 직관적 기대치와 비교해보면 어떠한가?
• RQ4 '칠문문' 또는 '육문문' 손패는 존재하는가? 즉, 7개 또는 6개의 테일 랭크 중 어느 하나를 추가해도 승리 손패로 완성되는가?
• RQ5 이 계산 프레임워크는 16장 손패로 확장되어, 특정 부분집합의 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리하는 모든 16장 구성 요소를 식별할 수 있는가?

주요 결과

• '구문문' 손패는 확인된 바로 유일하다: 9개의 도자기 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리 손패로 완성되는 13장 손패는 딱 하나뿐이다.
• 9개의 도자기 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리 손패로 완성되는 16장 손패는 정확히 11가지 존재한다. 이는 더 큰 손패에서 '구문문' 유사 구성 요소가 다수 존재함을 확인한다.
• 36장의 도자기 테일에서 14장의 카드를 뽑을 때 승리 손패를 형성할 확률은 약 0.1116, 즉 11.16%이며, 이는 직관적 기대치인 1/9 (~11.11%)보다 약간 높다.
• 17장 손패의 경우, 승리 손패를 형성할 확률은 약 0.1531, 즉 15.31%로 나타나, 더 많은 카드를 가질수록 승리 가능성이 크게 증가함을 시사한다.
• 이 연구는 '구문문' 속성을 만족하는 16장 구성 요소가 정확히 11가지 존재함을 규명하였으며, 이는 이러한 손패가 13장 손패 외에도 고유하지 않음을 보여준다.
• 계산 프레임워크는 9개의 도자기 테일 중 어느 하나를 추가해도 승리 손패로 완성되는 13장 손패를 모두 식별하여, 전설적인 주장에 대한 엄밀한 열거와 조합적 증명을 통해 검증하였다.