[논문 리뷰] Mathematical aspects of the Kubo formula for electrical conductivity with dissipation

Alexander Watson, Dionisios Margetis외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 09.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 산란을 포아송 분포 사건으로 모델링함으로써 소산이 있는 양자 시스템에서 전기 전도도에 대한 쿠보 공식의 체계적인 형식 유도를 제시한다. 이는 드루드 및 주기적 타이트버드 모델과 같은 잘 알려진 형태로 수렴하는 일반적인 전도도 표현식을 도출하여 그래핀과 자유 전자와 같은 물질에서 전자 이동도를 분석하는 통합된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this expository article, we present a systematic formal derivation of the Kubo formula for the linear-response current due to a time-harmonic electric field applied to non-interacting, spinless charged particles in a finite volume in the quantum setting. We model dissipation in a transparent way by assuming a sequence of scattering events occurring at random-time intervals modeled by a Poisson distribution. By taking the large-volume limit, we derive special cases of the formula for free electrons, continuum and tight-binding periodic systems, and the nearest-neighbor tight-binding model of graphene. We present the analogous formalism with dissipation to derive the Drude conductivity of classical free particles.

연구 동기 및 목표

• 시간 조화 전기장 하에서 비상호작용, 스핀이 없는 양자 입자에 대한 선형 반응 전기 전도도에 대한 체계적인 형식적 유도를 제공하는 것.
• 산란 사건을 평균 산란 시간의 역수인 Γ를 가진 포아송 과정으로 모델링하여 소산을 명확하게 통합하는 것.
• 쿠보 공식의 대규모 체적 근사에서의 극한을 도출하여 자유 전자, 연속 주기적 위치 에너지, 타이트버드 모델 및 그래핀에 대한 특수한 경우를 제공하는 것.
• 고전적 드루드 전도도가 양자 형식론의 극한으로서 복원됨을 보장하여 다양한 영역 간의 일관성을 검증하는 것.
• 다양한 전자 이동도 모델을 하나의 일반화 가능한 공식을 통해 연결하는 통합 수학적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 산란 간격이 지수 분포를 따르는 무작위 산란 사건의 시퀀스로 소산을 모델링하며, 평균 산란 시간의 역수인 Γ로 매개변수화한다.
• 일반적인 쿠보 공식을 $\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $ 형태로 도출하며, 여기서 $\tilde{\operatorname{Tr}}$ 는 단위 부피당 추적 밀도이다.
• 자유 입자, 연속 주기적 위치 에너지, 타이트버드 근사, 근처 원자 간 상호작용이 있는 그래핀 모델에 대해 구체적인 결과를 도출하기 위해 이 형식론을 적용한다.
• 시간 순서 정렬된 기대값과 포아송 분포 산란 시간에 대한 확률 평균을 사용하여 전류 반응을 계산한다.
• 동일한 프레임워크에서 고전 극한을 도출하여 드루드 전도도를 얻음으로써 고전 결과와의 일관성을 보여준다.
• 리우빌리안 $\mathcal{모델링된 전도도 공식은 $\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $ 형태로 유도되었으며, 이는 비상호작용, 스핀이 없는 입자에 대해 시간 조화 전기장 하에서 소산이 있는 경우에 적용된다.
• 자유 전자에 대해서는 드루드 전도도 $\sigma(\omega) = \frac{e^2 \tilde{N}}{m(-i\omega)} \left( \frac{1}{\Gamma} - \frac{1}{\Gamma - i\omega} \right) $ 가 도출되며, 이는 낮은 주파수에서 고전 결과와 일치한다.
• 주기적 시스템의 타이트버드 근사에서 공식은 밴드 구조 계산에 사용되는 표준 형태로 축소되며, 이중간 기여를 포함한다.
• 근처 원자 간 상호작용이 있는 그래핀 모델에 대해서는 기존에 알려진 전도도 행동이 재현되며, 청결한 상태에서의 보편적 값도 포함된다.
• 대규모 체적, 약한 필드 및 고전 극한 영역에서 고전적 드루드 전도도가 복원되며, 기존 물리학 결과와의 일관성을 확인한다.
• 유도 과정은 Γ를 포아송 산란을 통해 포함함으로써 응답 함수의 자연스러운 감쇠를 이끌어내며, 영주파수 근처에서의 발산 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포아송 분포 산란 사건으로 모델링된 소산이 있는 상황에서 쿠보 공식의 전기 전도도에 대한 형식적 유도는 어떻게 수행될 수 있는가?
• RQ2 자유 전자, 주기적 위치 에너지 및 타이트버드 모델의 경우 일반 쿠보 공식의 극한 형태는 무엇인가?
• RQ3 적절한 극한 조건에서 양자 쿠보 공식은 어떻게 고전적 드루드 모델로 축소되는가?
• RQ4 역산란 시간 Γ는 주파수 의존 전도도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반 공식은 자유 전자, 주기적 시스템의 드루드 피크 및 이중간 기여와 같은 기존 결과를 일관되게 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 비상호작용, 스핀이 없는 입자에 대해 시간 조화 전기장 하에서 소산이 있는 경우에 대한 일반 쿠보 공식 $\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $ 이 도출되었다.
• 자유 전자에 대해서는 드루드 전도도 $\sigma(\omega) = \frac{e^2 \tilde{N}}{m(-i\omega)} \left( \frac{1}{\Gamma} - \frac{1}{\Gamma - i\omega} \right) $ 가 도출되며, 이는 낮은 주파수에서 고전 결과와 일치한다.
• 주기적 시스템의 타이트버드 근사에서 공식은 밴드 구조 계산에 사용되는 표준 형태로 축소되며, 이중간 기여를 포함한다.
• 근처 원자 간 상호작용이 있는 그래핀 모델에 대해서는 기존에 알려진 전도도 행동이 재현되며, 청결한 상태에서의 보편적 값도 포함된다.
• 대규모 체적, 약한 필드 및 고전 극한 영역에서 고전적 드루드 전도도가 복원되며, 기존 물리학 결과와의 일관성을 확인한다.
• 유도 과정은 Γ를 포아송 산란을 통해 포함함으로써 응답 함수의 자연스러운 감쇠를 이끌어내며, 영주파수 근처에서의 발산 문제를 해결한다.