[논문 리뷰] Mathematical modeling of micropolar fluid flows through a thin porous medium

Francisco J. Suárez‐Grau|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 47인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다공성 미세구조를 가진 얇은 다공성 매체(TPM)를 통과하는 마이크로폴라 유체의 흐름에 대해, 균질화 기법을 사용하여 일반화된 2차원 Darcy 방정식을 유도한다. 미세구조 크기 $a_{\rho}$와 필름 두께 $\rho$의 비율에 따라 세 가지 별개의 영역(PTPM, HTPM, VTPM)이 도출되며, 이들 각각에서 속도장과 마이크로각속도장은 3차원, 2차원 또는 레이놀즈 유형의 국소 문제로부터 유도된 흐름 인자 $K^{(1)}_{\lambda}$, $K^{(2)}_{\lambda}$를 통해 결합된다.

ABSTRACT

We study the flow of a micropolar fluid in a thin domain with microstructure, i.e. a thin domain with thickness $\\varepsilon$ which is perforated by periodically distributed solid cylinders of size $a_\\varepsilon$. A main feature of this study is the dependence of the characteristic length of the micropolar fluid on the small parameters describing the geometry of the thin porous medium under consideration. Depending on the ratio of $a_\\varepsilon$ with respect to $\\varepsilon$, we derive three different generalized Darcy equations where the interaction between the velocity and the microrotation fields is preserved.

연구 동기 및 목표

• 주기적인 미세구조를 가진 얇은 다공성 매체(TPM) 내 마이크로폴라 유체 흐름을 모델링하기 위해.
• 거시적 흐름 거동에서 속도장과 마이크로각속도장 간의 결합을 고려하기 위해.
• 미세구조 크기와 필름 두께 사이의 척도 비율 $\lambda = \lim a_\varepsilon / \varepsilon$ 에 따라 의존하는 일반화된 Darcy 유형 방정식을 유도하기 위해.
• 뉴턴 유체에 대한 기존의 균질화 결과를 마이크로폴라(비뉴턴) 유체로 확장하기 위해.
• 마이크로폴라 흐름의 개선된 수치 모델링 및 공학적 응용을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 다중 척도 전개 방법과 두께를 재스케일링한 얇은 영역에 적합한 수정된 주기적 전개 기법을 사용한다.
• asymptotic limit $\varepsilon \to 0$ 과 $a_\varepsilon \to 0$ 를 다루기 위해 고정된 높이 영역에서 재스케일링된 문제를 도입한다.
• 국소 세포 문제를 해결한다: PTPM에서는 3차원 마이크로폴라 스토크스 문제, HTPM에서는 2차원 마이크로폴라 문제, VTPM에서는 2차원 마이크로폴라 레이놀즈 문제.
• 흐름 인자 $K^{(k)}_{\lambda}$ 를 국소 문제의 해를 주기 세포 위에서 적분하여 유도하며, 거기서 매크로스코픽 Darcy 방정식 형태 $\text{div}(K^{(1)}_{\lambda}(f - \nabla p) + K^{(2)}_{\lambda}g) = 0$ 를 도출한다.
• 흐름 인자 $K^{(k)}_{\lambda}$ 는 국소 문제의 해를 주기 세포 위에서 적분하여 명시적으로 계산되며, VTPM의 경우에 대해 명시적인 표현을 유도한다.
• 적응된 전개 기법을 사용하여 컴actness 및 수렴 결과를 확립하여 약한 형태의 극한으로의 엄밀한 전환을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마이크로폴라 유체가 얇은 다공성 매체를 통과할 때, 속도장과 마이크로각속도장 간의 결합은 거시적 흐름에 어떻게 나타나는가?
• RQ2 미세구조 척도 비율 $\lambda = \lim a_\varepsilon / \varepsilon$ 에 따라 마이크로폴라 유체 흐름의 별개의 점점 다가오는 영역은 무엇인가?
• RQ3 마이크로폴라 유체의 효과적 Darcy 법칙은 구조적 측면과 미세구조에 대한 의존성 측면에서 고전적 Darcy 법칙과 어떻게 다를까?
• RQ4 각 영역에서 효과적 흐름 인자를 지배하는 적절한 국소 세포 문제(3차원, 2차원 또는 레이놀즈 형태)는 무엇인가?
• RQ5 뉴턴 유체에 대해 사용된 균질화 프레임워크는 미세구조를 가진 얇은 영역 내 마이크로폴라 유체로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 세 가지 별개의 일반화된 Darcy 방정식이 각각의 영역에 대해 도출되었으며, PTPM($\lambda \in (0,\infty)$), HTPM($\lambda = 0$), VTPM($\lambda = \infty$) 각각 다른 국소 문제를 가진다.
• VTPM 영역에서는 마이크로각속도장이 압력 기울기로부터 분리되며, 효과적 흐름 인자 $L^{(1)}_{\infty}$ 가 0이 되어 시스템이 단순화된다.
• 흐름 인자 $K^{(k)}_{\lambda}$ 는 국소 문제의 해를 주기 세포 위에서 적분하여 명시적으로 계산되며, VTPM의 경우 $K^{(k)}_{\infty}$ 는 2차원 마이크로폴라 레이놀즈 문제의 해를 기반으로 유도된다.
• VTPM의 경우, 압력 방정식은 $R_c \to 0$ 의 극한에서 고전적인 Hele-Shaw 및 Darcy 법칙과 일치하는 형태로 단순화되며, [5,14]에서 알려진 결과를 회복한다.
• VTPM에서의 국소 문제 해는 hyperbolic 함수와 파rameter $N$, $R_c$, 그리고 $k = \sqrt{4N^2(1-N^2)/R_c}$ 를 포함하는 명시적 해를 가진다.
• 거시적 속도장과 마이크로각속도장은 주기 세포 위에서의 평균으로 복원되며, $\widetilde{U}^\prime = -K^{(1)}_{\infty}(\nabla_{x^\prime}\tilde{P} - f^\prime) + K^{(2)}_{\infty}g^\prime$ 와 $\widetilde{W}^\prime = -L^{(1)}_{\infty}(\nabla_{x^\prime}\tilde{P} - f^\prime) + L^{(2)}_{\infty}g^\prime$ 의 형태를 가지며, Darcy 유형의 구조가 확인된다.