[논문 리뷰] Mathematical models and search algorithms for the capacitated $p$-center problem

Raphael Kramer, Manuel Iori외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 13.

Facility Location and Emergency Management인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적합한 수학적 포지션, 유효한 부등식(이중 기반 부분합 부등식 포함), 그리고 순차적 검색과 이진 검색 사이의 균형을 이루는 새로운 계층적 검색 전략을 사용하여 용량 제약이 있는 $p$-center 문제를 위한 분해 기반 정확한 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 최대 402개의 정점과 정수 거리로 이루어진 문헌에 있는 모든 인스턴스를 증명된 최적해로 해결하며, 이 중 13개의 열린 케이스도 포함된다. 또한 최대 3,038개의 정점을 가진 인스턴스에 대해서는 10분 이내에 타당해를 찾는다.

ABSTRACT

The capacitated p-center problem requires to select p facilities from a set of candidates to service a number of customers, subject to facility capacity constraints, with the aim of minimizing the maximum distance between a customer and its associated facility. The problem is well known in the field of facility location, because of the many applications that it can model. In this paper, we solve it by means of search algorithms that iteratively seek the optimal distance by solving tailored subproblems. We present different mathematical formulations for the subproblems and improve them by means of several valid inequalities, including an effective one based on a 0-1 disjunction and the solution of subset sum problems. We also develop an alternative search strategy that finds a balance between the traditional sequential search and binary search. This strategy limits the number of feasible subproblems to be solved and, at the same time, avoids large overestimates of the solution value, which are detrimental for the search. We evaluate the proposed techniques by means of extensive computational experiments on benchmark instances from the literature and new larger test sets. All instances from the literature with up to 402 vertices and integer distances are solved to proven optimality, including 13 open cases, and feasible solutions are found in 10 minutes for instances with up to 3038 vertices.

연구 동기 및 목표

• 용량 제약이 있는 $p$-center 문제에 대한 정확한 해법을 개발하는 것. 이 문제는 NP-난이도이며, 응급 서비스 및 물류 분야에서 매우 중요하다.
• 설립지 선택 문제에서 시설 용량과 고객-시설 간 최대 거리의 최소화 간 균형을 이루는 데 도전하는 것.
• 맞춤형 수학적 포지션과 유효한 부등식을 통해 해법 효율을 향상시키는 것.
• 최적 거리에 대한 큰 과대평가를 방지하면서도 하위 문제의 수를 줄이는 검색 전략을 설계하는 것.
• 정수 및 실수 거리로 이루어진 벤치마크 및 새로운 대규모 인스턴스(최대 3,000개 정점)에 대한 성능 평가

제안 방법

• 후보 최적 거리에 대해 반복적으로 용량 제약이 있는 집합 커버링 하위 문제를 해결하는 분해 접근법을 사용한다.
• 순차적 검색과 이진 검색 사이의 균형을 이루는 계층적 검색 전략을 적용하여 하위 문제 반복 수를 줄이고 거리에 대한 큰 과대평가를 방지한다.
• 0-1 이분 기반 유효 부등식을 도입하고, 부분합 문제를 해결하여 하위 문제의 선형 이론을 강화한다.
• 강력한 선형 이론 경계를 제공하는 대안적 간선-유량 포지션을 개발한다.
• 대칭성 제거 제약과 유효 부등식을 적용하여 분기 및 경계 과정에서 최적성 갭과 노드 탐색 수를 줄인다.
• 하위 문제 해결을 타당한 거리 범위로 제한하는 계산 전략을 활용하여 전체 효율성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계층적 검색 전략이 용량 제약이 있는 $p$-center 문제 해결에서 전통적인 순차적 검색과 이진 검색보다 우월한가?
• RQ2 이분 기반 유효 부등식과 부분합 문제의 해법이 하위 문제의 선형 이론을 얼마나 효과적으로 강화하는가?
• RQ3 제안된 포지션과 검색 알고리즘이 최대 402개 정점과 정수 거리로 이루어진 모든 벤치마크 인스턴스를 증명된 최적해로 해결할 수 있는가? 이 중 이전에 열려 있던 케이스도 포함된다.
• RQ4 실수 거리로 이루어진 대규모 인스턴스(최대 3,000개 정점)에 대해 알고리즘의 성능은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 새로운 포지션과 부등식은 분기 및 경계 트리에서 탐색되는 노드 수를 얼마나 줄이는가?

주요 결과

• 최대 402개 정점과 정수 거리로 이루어진 모든 벤치마크 인스턴스가 증명된 최적해로 해결되었으며, 이 중 13개는 이전에 열려 있던 케이스였다.
• 계층적 검색 전략(L2, L3, L4)이 평균 갭에서 가장 우수했고, 특히 실수 거리의 경우 가장 안정적이었다.
• 순차적 검색(SS)은 정수 거리의 경우 가장 많은 인스턴스를 해결했지만, 전체적으로는 계층적 검색(L4)가 증명된 최적해 확보와 소요 시간 측면에서 가장 뛰어난 성능을 보였다.
• 실수 거리의 경우, 계층적 검색은 반복 수가 줄어들고 과대평가를 더 잘 다루기 때문에 순차적 검색과 이진 검색을 뛰어넘는 성능을 보였다.
• 이분 기반 부분합 부등식은 하위 문제의 하한을 효과적으로 향상시키고 분기 및 경계 과정에서 탐색되는 노드 수를 줄였다.
• 최대 3,038개 정점의 모든 인스턴스에 대해 10분 이내에 타당해를 확보하여 대규모 문제에 대한 확장성을 입증했다.