[논문 리뷰] Mathematics and group theory in music

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 22.

Musicology and Musical Analysis참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 20세기 음악에서 올리비에 메시앙의 작곡 기법과 이론적 혁신이 군 이론에 의해 뒷받침됨을 보여주며, 특히 제한된 옮김을 가진 모드와 비역행 가능한 리듬을 중심으로 분석한다. 대칭, 순열, 옮김의 제약을 통해 수학적 구조가 고유한 화성 색채와 음조의 모호함을 생성하는 방식을 밝혀내며, 메시앙의 독특한 음악어조가 수학적 불가능성과 소리-색채 연합 인식에 뿌리를 두고 있음을 정형화한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show through particular examples how group theory is used in music. The examples are chosen from the theoretical work and from the compositions of Olivier Messiaen (1908-1992), one of the most influential twentieth century composers and pedagogues. Messiaen consciously used mathematical concepts derived from symmetry and groups, in his teaching and in his compositions. Before dwelling on this, I will give a quick overview of the relation between mathematics and music. This will put the discussion on symmetry and group theory in music in a broader context and it will provide the reader of this handbook some background and some motivation for the subject. The relation between mathematics and music, during more than two millennia, was lively, widespread, and extremely enriching for both domains. This paper will appear in the Handbook of Group actions, vol. II (ed. L. Ji, A. Papadopoulos and S.-T. Yau), Higher Eucation Press and International Press.

연구 동기 및 목표

• 군 이론이 메시앙의 작곡 기법과 이론적 프레임워크를 어떻게 구성하는지 보여주기.
• 메시앙의 제한된 옮김의 모드의 수학적 기초를 설명하고, 음조의 모호함을 만들어내는 데서 그 역할을 분석하기.
• 피타고라스 비율과 대칭과 같은 역사적 수학 개념을 현대 군론적 형식론과 연결하기.
• 수학적 제약이 음악에서 색채, 신비감, 화성의 모호함 같은 인지적 효과를 어떻게 만들어내는지 탐구하기.
• 메시앙의 작업을 수학과 음악의 더 넓은 전통 안에 놓고, 음악적 형식과 인식에서 대칭과 변환의 역할을 강조하기.

제안 방법

• 순환군과 대칭 작용과 같은 군론적 개념을 사용해 메시앙의 제한된 옮김의 모드를 분석하기.
• 비역행 가능한 리듬을 모델링하기 위해 순열군을 적용하며, 리듬 패턴이 뒤집힘에 대해 불변임을 다루기.
• 옮김 닫힘 개념을 사용해 유한한 수의 서로 다른 형태로만 옮길 수 있는 모드를 정의하기 (예: 최대 6번의 옮김).
• 피타고라스가 확립한 수치적 비율에 따라 음간격을 매핑하여 화성 구조를 산술적 대칭성에 기반하게 하기.
• 반복적인 옮김이 일정한 음조 분포를 만들어내는 방식으로 화성 색채화에 대칭의 역할을 분석하기.
• 안드레타, 제드르제프스키 등의 역사적 및 현대 연구를 인용해 메시앙의 작업을 현대 군론 음악이론의 맥락에 둘러보내기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 이론은 메시앙의 제한된 옮김의 모드의 구조를 어떻게 형식화하는가?
• RQ2 비역행 가능한 리듬은 음악 작곡에서 군론적 대칭을 어떻게 예시로 보여주는가?
• RQ3 옮김에 대한 수학적 제약은 메시앙 음악에서 음조의 모호함과 화성 색채를 어떻게 만들어내는가?
• RQ4 대칭과 순열은 메시앙의 화성 언어에서 독특한 톤과 공간적 특성을 어떻게 형성하는가?
• RQ5 역사적 수학 전통(예: 피타고라스 비율, 유클리드의 캐논 분할)은 메시앙의 작업에서 군론적 구조를 어떻게 형성하는가?

주요 결과

• 메시앙의 제한된 옮김의 모드는 수학적으로 제약을 받는다: 각 모드는 최대 6번의 옮김만 가능하며, 이는 닫혀 있고 대칭적인 구조를 이룬다.
• 이 모드들은 스케일이 아니라 화성 색채이다. 주음 또는 종결음이 없기에 음조의 모호함이 발생하며, 이는 공기처럼 우아하고 인상주의적인 분위기를 만든다.
• 비역행 가능한 리듬은 뒤집힘에 대해 불변이며, 이는 군론적 대칭, 특히 순환군의 맥락에서 형식화된다.
• 한정된 수의 단계로만 옮길 수 있는 모드의 수학적 불가능성은 메시앙에게는 화성 색채와 만족스러운 매력의 근원으로 여겨진다.
• 메시앙은 음간격과 화화음을 색채로 인식했으며, 이는 바르델레르에서 스크리아빈에 이르기까지의 역사적이고 예술적 소리-색채 대응 전통과 일치한다.
• 이 논문은 군 이론과 음악 인식 사이에 공식적 연관을 설정하며, 메시앙의 작품에서 수학적 대칭이 구조적 일관성과 미학적 효과를 동시에 뒷받침함을 보여준다.