[논문 리뷰] $\mathrm{FI}_G$-modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups

Kevin Casto|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한군 및 거의 폴리사이클릭 군 $G$에 대한 $\mathrm{FI}_G$-모듈의 이론을 개발하며, 궤도 구성 공간, Fouxe-Rabinovitch 군, 기타 $W_n = G^n \rtimes S_n$-모듈의 코homology 및 호모토피 군에서 표현 안정성의 특성 다항식과 $K_0$-안정성을 확립한다. 이는 Church-Ellenberg-Farb 및 Wilson의 작업을 복소 반사군과 무한군으로까지 확장하며, 이러한 표현의 특성들이 보편적 다항식에 의해 지배되며 차원이 다항식적으로 안정화됨을 증명한다.

ABSTRACT

The category $\mathrm{FI}_G$ was first defined and explored by Sam-Snowden. Here, we develop more of the machinery of $\mathrm{FI}_G$-modules and find numerous examples to apply it to, extending the work of Church-Ellenberg-Farb and Wilson. In particular we develop a notion of character polynomials for $\mathrm{FI}_G$-modules with $G$ finite, a notion of representation stability which we call $K_0$-stability even when $G$ is infinite virtually polycyclic, and apply the notion of finite presentation degree when $G$ is a general infinite group. We use this to analyze numerous families of $(G^n times S_n)$-modules, such as: -the cohomology and homotopy groups of orbit configuration spaces -the diagonal coinvariant algebra of complex reflection groups -the homology of affine pure braid groups of type $\widetilde{A}_n$ and $\widetilde{C}_n$ -the cohomology of Fouxe-Rabinowitsch groups and many more examples.

연구 동기 및 목표

• 유한군을 초월해 거의 폴리사이클릭 군 및 무한군으로 $\mathrm{FI}_G$-모듈 이론을 확장하기.
• 만일 $G$가 무한이지만 거의 폴리사이클릭이라면 $W_n = G^n \rtimes S_n$-모듈에 대해 $K_0$-안정성 형태의 표현 안정성을 확립하기.
• 궤도 구성 공간 및 Fouxe-Rabinovitch 군의 코homology 및 호모토피 군에 대한 명시적 특성 다항식 제공하기.
• 비단순연결 다중구조와 일반화된 브레인드 군에 대한 표현 안정성에 대한 열린 문제 해결하기.
• 유한형 코homology를 가진 군 $G$에 대해 Fouxe-Rabinovitch 군 $\operatorname{FR}(G^{*n})$의 코homology에서 유한 생성성과 안정성 입증하기.

제안 방법

• 무한군을 위한 표현 안정성의 일반화로 $K_0$-안정성을 도입하며, 군 환의 그로텐디크 군을 사용한다.
• $\mathrm{FI}_G$-모듈의 기계적 장치를 궤도 구성 공간, 브레인드 군, $\operatorname{FR}(G^{*n})$의 코homology에서 유래한 $W_n$-표현의 수열에 적용한다.
• $H^*(\operatorname{FR}(G^{*n})) \cong H^*((G^{*n})^{n-1})$의 동형을 이용해 코homology를 $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-대수로 표현한다.
• $\widetilde{H}^*(G)^{\oplus n(n-1)}$에 대해 명시적인 $\mathrm{FI}_G$-모듈의 구조를 구성하며, 유한 생성성과 차수 상한을 보여준다.
• Sam-Snowden 및 Gan-Li의 Noetherianity와 유한 표현 차수 결과를 $\mathrm{FI}_G$-모듈에 적용한다.
• $\mathrm{FI}_G$-사상이 코homology 클래스에 작용함으로써 특성 다항식을 유도하며, $n$에 대한 다항식성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $K_0$-안정성을 사용해 표현 안정성을 무한 거의 폴리사이클릭 군으로 유한군을 초월해 일반화할 수 있는가?
• RQ2 만일 $G$가 유한 또는 거의 폴리사이클릭이라면 궤도 구성 공간 $\operatorname{Conf}_n^G(M)$의 코homology 및 호모토피 군이 특성 다항식 행동을 보이는가?
• RQ3 $H^*(G;\mathbb{Q})$가 유한형이라면 $H^*(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$가 $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-대수로서 유한형인가?
• RQ4 Wilson의 $\mathrm{FI}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$-대수 결과를 일반적인 $G$에 대해 $\mathrm{FI}_G$-모듈로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $H^1(P(d,n);\mathbb{C})$와 같은 수열에서 다중도 및 차원의 정확한 안정화 범위는 무엇인가?

주요 결과

• $G = \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$일 때, 코homology $H^1(P(d,n);\mathbb{C})$는 $L((n)_{\chi_0}) \oplus L((n-1,1)_{\chi_0}) \oplus \bigoplus_{\chi \in \operatorname{Irr}(G)} L((n-2)_{\chi_0},(2)_{\chi})$로 분해되며, $n \geq 2$에서 안정화가 시작된다.
• 만일 $G$가 유한형 코homology를 가지며 $\operatorname{Out}(G)$가 유한하다면, $H^i(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{C})$의 특성은 모든 $n$에 대해 차수 $2i$의 단일 특성 다항식으로 주어진다.
• 만일 $G$가 유한하다면, 수열 1–6에서 각 기약 $W_n$-표현의 다중도는 최종적으로 $n$에 의존하지 않으며, $\dim V_n$은 최종적으로 $n$에 대해 다항식적이다.
• $H^*(G;\mathbb{Q})$가 유한형이라면 $H^*(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$는 유한형 $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-대수이다.
• $G$가 거의 폴리사이클릭이라면 $H_i(\operatorname{Conf}_n^G(M);\mathbb{Q})$ 및 $H_i(P_{\widetilde{A}_{n-1}};\mathbb{Q})$의 $K_0$-안정성이 성립하며, 이는 $G$가 무한함에도 불구하고 성립한다.
• $G = \mathbb{Z}$일 때, 코homology $H^1(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$의 차원은 $n(n-1)\cdot \dim H^1(G;\mathbb{Q})$이며, $\operatorname{Out}(G) \wr S_n$-표현은 $K_0$-의미에서 안정화된다.