[논문 리뷰] $\mathsf{LLF}_{\cal P}$: a logical framework for modeling external evidence, side conditions, and proof irrelevance using monads

Furio Honsell, Luigi Liquori외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 23.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 외부 증거, 부가 조건, 증명의 비결정성 등을 모델링하기 위해 단항의, 술어로 인덱싱된 타입 생성자(이하 '잠금')를 사용하는 논리적 프레임워크(LF)의 보수적 확장인 LLFP를 제안한다. 단항적 구조와 새로운 언락(destructor)을 활용함으로써 LLFP는 등식적 추론을 단순화하고, 타입 이론적 증명 체계에서 오라클과 비결정적 증거를 통일적이고 형식적으로 검증 가능한 방식으로 통합할 수 있다.

ABSTRACT

We extend the constructive dependent type theory of the Logical Framework $\mathsf{LF}$ with monadic, dependent type constructors indexed with predicates over judgements, called Locks. These monads capture various possible proof attitudes in establishing the judgment of the object logic encoded by an $\mathsf{LF}$ type. Standard examples are factoring-out the verification of a constraint or delegating it to an external oracle, or supplying some non-apodictic epistemic evidence, or simply discarding the proof witness of a precondition deeming it irrelevant. This new framework, called Lax Logical Framework, $\mathsf{LLF}_{\cal P}$, is a conservative extension of $\mathsf{LF}$, and hence it is the appropriate metalanguage for dealing formally with side-conditions in rules or external evidence in logical systems. $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ arises once the monadic nature of the lock type-constructor, ${\cal L}^{\cal P}_{M,σ}[\cdot]$, introduced by the authors in a series of papers, together with Marina Lenisa, is fully exploited. The nature of the lock monads permits to utilize the very Lock destructor, ${\cal U}^{\cal P}_{M,σ}[\cdot]$, in place of Moggi's monadic $let_T$, thus simplifying the equational theory. The rules for ${\cal U}^{\cal P}_{M,σ}[\cdot]$ permit also the removal of the monad once the constraint is satisfied. We derive the meta-theory of $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ by a novel indirect method based on the encoding of $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ in $\mathsf{LF}$. We discuss encodings in $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ of call-by-value $λ$-calculi, Hoare's Logic, and Fitch-Prawitz Naive Set Theory.

연구 동기 및 목표

• 논리 체계 내에서 외부 증거와 부가 조건을 형식적, 타입 이론적 프레임워크로 모델링하기 위한 것이다.
• 구성적 타입 이론적 메타언어 내에서 증명의 비결정성과 비결정적 지식 소스(예: 다이어그램, 계산)의 도전 과제를 해결하기 위한 것이다.
• 모르기의 letT를 대체하는 직접적인 언락(destructor)을 도입함으로써, 단항 타입 체계 내에서의 등식적 추론을 단순화하기 위한 것이다.
• 오라클을 지원하는 모듈러적이고 확장 가능한 증명 체계를 허용하는 LF의 보수적 확장으로서의 LLFP를 확립하기 위한 것이다.
• 다양한 추론 문화(예: 외부 도구나 계산적 증거에 의존하는 것 등)를 포함하는 다종성의 추론을 포함하는 증명의 형식적 검증을 가능하게 하기 위한 것이다.

제안 방법

• LF의 판단에 대한 술어 P에 의해 인덱싱된 단항 타입 생성자 LP_M,σ[·]를 도입하여, 증명 검증을 연기하거나 위임하는 아이디어를 포착한다.
• 조건 P(Γ ⊢Σ M : σ)가 충족되면 단일적으로 단항 세계에서 벗어나는 데 사용되는 잠금 해제(destructor) UP_M,σ[·]를 사용하며, 모기의 letT를 대체하고 등식 이론을 단순화한다.
• 잠금 단항을 단일 집합 구조로 모델링하여 언락 연산과 증명 증거 추출 간의 직접적 대응을 가능하게 한다.
• LLFP 전체 시스템을 LF로의 인코딩을 통해 압축함으로써, LF에서의 메타이론적 성질(예: 수렴성, 강한 정규화, 주제 감소)을 LLFP로 이행할 수 있다.
• 직접 원칙에서 증명하는 대신, LF에 LLFP를 인코딩함으로써 메타이론을 유도하는 새로운 간접 방법을 사용한다.
• 이 프레임워크를 사용하여 값에 기반한 λ-계산, 호어 논리, 피치-프라위츠의 난이도 낮은 집합론을 인코딩함으로써 표현력과 통일성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 구성적 타입 이론적 메타언어인 LF 내에서 외부 증거와 부가 조건을 통일적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 오라클이나 비결정적 증거를 포함하는 증명 체계에서 등식적 추론을 단순화하기 위해 단항 타입 생성자를 사용할 수 있는가?
• RQ3 오직 증명 증거의 존재만 중요시되는 증명의 비결정성은 어떻게 타입 체계에서 형식적으로 포착할 수 있는가?
• RQ4 이러한 확장된 체계의 메타이론적 기초는 무엇이며, 보수적 인코딩을 통해 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 단일 형식 체계 내에서 계산적 증거와 다이어그램적 추론을 포함한 다양한 추론 문화를 지원할 수 있는가?

주요 결과

• LLFP는 LF의 보수적 확장이며, LF의 모든 메타이론적 성질(예: 수렴성, 강한 정규화, 주제 감소)이 LLFP로 이행됨을 보장한다.
• 모기의 letT 대신 언락(destructor) UP_M,σ[·]를 사용함으로써 순열적 감소(reduction)가 제거되어 등식 이론이 크게 단순화된다.
• LLFP를 LF로의 인코딩은 LF의 메타이론적 성질을 LLFP로 이행할 수 있게 하며, 새로운 강력한 증명 기법을 제공한다.
• 이 프레임워크는 값에 기반한 λ-계산, 호어 논리, 피치-프라위츠의 난이도 낮은 집합론과 같은 복잡한 체계를 성공적으로 인코딩하여 표현력을 입증한다.
• 술어 Fitch(Γ ⊢FPST ⟨x,y⟩ : T(A)×V(A)→T(B))는 잘 행동하며, 자유 변수가 적절히 스코프가 지정된 정규화 가능한 증명들만 수락함을 보장한다.
• 논문은 잠금 내에서 변수를 바인딩하고 오라클이 제공하는 증거로 이를 인스턴스화하는 언락을 사용함으로써, 오라클 호출이 증거를 반환하도록 LLFP를 확장할 수 있는 길을 제안한다.