[논문 리뷰] Matrix Group Integrals, Surfaces, and Mapping Class Groups II: $\mathrm{O}\left(n ight)$ and $\mathrm{Sp}\left(n ight)$

Michael Magee, Doron Puder|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 30.

Random Matrices and Applications참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 직교군과 심플렉틱군의 단어에 대한 행렬군 적분에 대해 무한대에서 수렴하는 로랑 급수 전개를 수립하며, 계수들이 표면 위의 사상과 매핑 클래스 군의 $ L^2 $-오일러 특성과 연결됨을 보여준다. 이 계수들이 자유군의 자기동형사상에 대해 불변임을 밝혀내며, 고전적인 유니터리 군 결과를 일반화하고, 무작위 직교 및 심플렉틱 행렬에 대한 새로운 보편성 및 감쇠 속도 결과를 제공한다.

ABSTRACT

Let $w$ be a word in the free group on $r$ generators. The expected value of the trace of the word in $r$ independent Haar elements of $\mathrm{O}(n)$ gives a function ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ of $n$. We show that ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ has a convergent Laurent expansion at $n=\infty$ involving maps on surfaces and $L^{2}$-Euler characteristics of mapping class groups associated to these maps. This can be compared to known, by now classical, results for the GUE and GOE ensembles, and is similar to previous results concerning $\mathrm{U}\left(n ight)$, yet with some surprising twists. A priori to our result, ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ does not change if $w$ is replaced with $α(w)$ where $α$ is an automorphism of the free group. One main feature of the Laurent expansion we obtain is that its coefficients respect this symmetry under $\mathrm{Aut}(\mathrm{\mathbf{F}}_{r})$. As corollaries of our main theorem, we obtain a quantitative estimate on the rate of decay of ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ as $n o\infty$, we generalize a formula of Frobenius and Schur, and we obtain a universality result on random orthogonal matrices sampled according to words in free groups, generalizing a theorem of Diaconis and Shahshahani. Our results are obtained more generally for a tuple of words $w_1,\ldots,w_\ell$, leading to functions ${\cal T}r_{w_{1},\ldots,w_{\ell}}^{\mathrm{O}}$. We also obtain all the analogous results for the compact symplectic groups $\mathrm{Sp}\left(n ight)$ through a rather mysterious duality formula.

연구 동기 및 목표

• 독립된 하르 분포를 가진 $ \mathrm{O}(n) $ 및 $ \mathrm{Sp}(n) $ 에서의 행렬 단어의 추적에 대해 $ (n+1 - \alpha_G)^{-1} $ 에 대한 수렴하는 로랑 급수 전개를 유도하는 것.
• 이 전개의 계수들이 표면 위의 사상과 매핑 클래스 군의 $ L^2 $-오일러 특성과 어떻게 연결되는지 밝히는 것.
• 로랑 전개가 자유군의 자기동형사상 대칭성을 유지한다는 것을 보여주는 것, 즉 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 에 대해 불변임을 보이는 것.
• $ \mathrm{O}(n) $ 과 $ \mathrm{Sp}(n) $ 사이의 이중성 관계를 수립하여, $ n \mapsto -2n $ 을 포함하는 변환을 통해 두 군 간의 결과를 상호 전환할 수 있도록 하는 것.
• 무작위 행렬에 대한 고전적인 결과들인 프로베누스-슐루어 공식과 다이아코스-샤흐샤하니 보편성 정리들을 일반화하는 것.

제안 방법

• Weingarten 적분법을 이용하여 행렬 적분을 $ n $ 에 대한 유리함수로 표현함으로써, 무한대에서의 로랑 급수 전개를 가능하게 한다.
• 단어 매칭으로부터 표면 위의 조합적 사상을 구성하며, 부호가 붙은 매칭과 표면 분해를 통해 추적 적분의 구조를 인코딩한다.
• 매핑된 표면이 올바른 방향성을 가질 수 없는 경우를 포함하여 사상을 인코딩하는 다형단체 복합체인 횡단 사상 복합체를 도입하여, 매핑 클래스 군의 $ L^2 $-불변량을 분석한다.
• $ L^2 $-호모로지 기법을 적용하여 표면 사상의 매핑 클래스 군의 $ L^2 $-오일러 특성을 계산하고, 이를 로랑 계수와 연결한다.
• 이중성 공식 수립: $ \mathrm{Sp}(n) $ 적분은 $ \mathrm{O}(n) $ 적분에서 $ n \mapsto -2n $ 으로 치환하고 $ (-1)^\ell $ 을 곱하여 얻을 수 있다.
• 자유군의 자기동형사상에 대해 추적 적분이 불변임을 이용하여, 로랑 계수가 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 에 대해 유지됨을 증명함으로써, 핵심적인 대칭 성질을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립된 하르 분포를 가진 $ \mathrm{O}(n) $ 에서의 $ r $ 개의 행렬 단어의 기대 추적은 $ (n+1 - \alpha_{\mathrm{O}})^{-1} $ 에 대해 어떻게 로랑 급수로 전개될 수 있으며, 이 계수들은 어떤 기하학적 및 군론적 자료를 담고 있는가?
• RQ2 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{O}}_{w_1,\ldots,w_\ell}(n) $ 의 로랑 전개에서 매핑 클래스 군의 $ L^2 $-오일러 특성은 어떤 역할을 하는가? 그리고 표면 위의 사상과는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 $ \mathrm{O}(n) $ 과 $ \mathrm{Sp}(n) $ 사이의 이중성은 행렬 적분과 그들의 로랑 전개의 구조에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 로랑 급수의 계수들이 자유군 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 의 자기동형사상에 대해 얼마나 불변인가? 이 대칭성은 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 이 결과들을 이용하여 프로베누스-슐루어 공식과 다이아코스-샤흐샤하니 보편성 정리와 같은 고전적 공식들을 임의의 자유군 단어로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{O}}_{w_1,\ldots,w_\ell}(n) $ 는 $ \alpha_{\mathrm{O}} = 2 $ 인 $ (n+1 - \alpha_{\mathrm{O}})^{-1} $ 에 대한 수렴하는 로랑 급수 전개를 가지며, 이 계수들은 표면 위의 사상과 그 매핑 클래스 군의 $ L^2 $-오일러 특성으로 표현된다.
• 로랑 전개의 계수들은 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 의 작용에 대해 불변이며, 자유군의 자기동형사상에 대한 추적 적분의 깊은 대칭성을 반영한다.
• $ \mathrm{Sp}(n) $ 에서는 $ n \mapsto -2n $ 으로 치환하고 $ (-1)^\ell $ 을 곱함으로써 $ \mathrm{O}(n) $ 적분으로부터 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{Sp}}_{w_1,\ldots,w_\ell}(n) $ 를 얻을 수 있으며, 이는 놀라운 이중성을 수립한다.
• 논문은 $ n \to \infty $ 일 때 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{O}}_w(n) $ 의 정량적 감쇠 속도를 로랑 전개의 주요 항에서 유도한다.
• 일반화된 프로베누스-슐루어 공식을 도출하여, 고전적인 특성합 항등식을 직교군 설정으로 확장한다.
• 보편성 결과를 증명한다: 임의의 자유군 단어에 대한 랜덤 $ \mathrm{O}(n) $ 행렬의 분포는 하르 측도 $ \mathrm{O}(n) $ 로 수렴하며, 다이아코스-샤흐샤하니 정리를 임의의 자유군 단어로 일반화한다.