[논문 리뷰] Matrix P-norms are NP-hard to approximate if p ≠1,2,∞

Julien M. Hendrickx, Alex Olshevsky|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 11.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 p = 1, 2 가 아닌 경우 행렬 p-노름을 임의의 상대 정밀도 내에서 근사하는 것은 NP-난이도임을 증명하며, 임의의 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 ∞,p 혼합 노름을 근사하는 것도 NP-난이도임을 보이며, P = NP 가 아닐 경우에 한하여 이를 증명한다. 이 결과는 수치선형대수학에서 노름 근사의 기본적인 계산적 한계를 설정한다.

ABSTRACT

Abstract. We show that for any rational p ∈ [1, ∞) except p = 1,2, unless P = NP, there is no polynomial-time algorithm for approximating the matrix p-norm to arbitrary relative precision. We also show that for any rational p ∈ [1, ∞) including p = 1, 2, unless P = NP, there is no polynomial-time algorithm approximates the ∞, p mixed norm to some fixed relative precision. 1. Introduction. The

연구 동기 및 목표

• 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 행렬 p-노름 근사의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 다항시간 알고리즘이 행렬 p-노름을 임의의 상대 오차 내에서 근사할 수 있는지 조사하는 것.
• 모든 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 ∞,p 혼합 노름에 대한 경직성 결과를 확장하는 것.
• 이러한 근사가 P = NP 가 아닐 경우에만 NP-난이도임을 설정하는 것.

제안 방법

• 기존의 NP-난이도 문제들에서 행렬 p-노름 근사 문제로의 환원.
• 조합론적 및 스펙트럼 기법을 사용하여 행렬 노름을 NP-완전 결정 문제와 연결하는 것.
• p-노름 근사가 기본적인 NP-난이도 문제를 해결할 수 있는 행렬 인스턴스를 구성하는 것.
• 다항시간 근사 알고리즘이 존재한다고 가정하고 모순을 이끌어내어 P = NP 로 이르는 증명.
• 이중성 및 노름 등가성 추론을 적용하여 결과를 ∞,p 혼합 노름으로 확장하는 것.
• 환원의 계산 가능성과 정밀도를 확보하기 위해 p의 유리수 값에 집중하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p ≠ 1, 2, ∞ 인 경우에 대해 행렬 p-노름을 임의의 상대 정밀도 내에서 다항시간에 근사하는 것은 가능한가?
• RQ2 모든 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 ∞,p 혼합 노름을 고정된 상대 정밀도 내에서 다항시간 알고리즘으로 근사할 수 있는가?
• RQ3 p가 유리수이면서 {1, 2, ∞} 에 속하지 않을 경우, 행렬 p-노름 근사의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 p-노름과 ∞-노름을 포함하는 혼합 노름으로 근사의 난이도를 확장할 수 있는가?
• RQ5 행렬 p-노름에 대한 다항시간 근사계량이 존재하면 P = NP 를 의미하는가?

주요 결과

• 임의의 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 p = 1 및 p = 2 가 아닌 경우, 행렬 p-노름을 임의의 상대 정밀도 내에서 근사하는 것은 NP-난이도이다.
• p-노름에 대한 NP-난이도 결과는 P ≠ NP 라는 가정 하에 성립한다.
• 모든 유리수 p ∈ [1, ∞) 에 대해 ∞,p 혼합 노름을 고정된 상대 정밀도 내에서 근사하는 것도 NP-난이도이다.
• 이 난이도는 구간 [1, ∞) 내의 모든 유리수 p 값에 대해 적용되며, p = 1 및 p = 2 도 포함된다.
• 이 결과는 계산선형대수학에서 행렬 노름 근사의 타당성에 대한 기본적인 한계를 설정한다.
• P = NP 가 아닐 경우, 이러한 노름을 임의의 정밀도 내에서 근사할 수 있는 다항시간 알고리즘이 존재하지 않는다.