[논문 리뷰] Matrix Product Density Operators: when do they have a local parent Hamiltonian?

Chi-Fang Chen, Kohtaro Kato외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 28.

Quantum many-body systems참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Y자형 완전 양의 지도로부터 구성된 행렬 곱 밀도 연산자(MPDOs)가 국소 부모 해밀토니안의 긴스 상태가 될 수 있는지 조사한다. 조건부 상호정보량(CMI)의 지수적 감쇠를 분석함으로써, 비틀림이 없는(역행성)이고 엄밀히 양의 채널이며 올바른 보정 대수가 자명한 경우, CMI는 지수적으로 감쇠함을 증명하며, 이는 준국소 부모 해밀토니안의 존재를 시사한다. 또한 이러한 결과를 모든 해당 채널로 일반화하기 위한 양자 데이터 처리 부등식의 추측을 제기한다.

ABSTRACT

We study whether one can write a Matrix Product Density Operator (MPDO) as the Gibbs state of a quasi-local parent Hamiltonian. We conjecture this is the case for generic MPDO and give supporting evidences. To investigate the locality of the parent Hamiltonian, we take the approach of checking whether the quantum conditional mutual information decays exponentially. The MPDO we consider are constructed from a chain of 1-input/2-output (`Y-shaped') completely-positive maps, i.e., the MPDO have a local purification. We derive an upper bound on the conditional mutual information for bistochastic channels and strictly positive channels and show that it decays exponentially if the correctable algebra of the channel is trivial. We also introduce a conjecture on a quantum data processing inequality that implies the exponential decay of the conditional mutual information for every Y-shaped channel with trivial correctable algebra. We additionally investigate a close but nonequivalent cousin: MPDO measured in a local basis. We provide sufficient conditions for the exponential decay of the conditional mutual information of the measured states and numerically confirm they are generically true for certain random MPDO.

연구 동기 및 목표

• 행렬 곱 밀도 연산자(MPDOs)가 국소 부모 해밀토니안의 긴스 상태가 될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 부모 해밀토니안의 국소성의 지표로 조건부 상호정보량(CMI)의 감쇠를 분석하는 것.
• Y자형 채널에서 유도된 MPDOs에서 지수적 CMI 감쇠를 위한 충분조건을 확립하는 것.
• 보정 대수와 복구 채널이 CMI 행동을 결정하는 데서 수행하는 역할을 조사하는 것.
• 측정된 MPDOs로 결과를 확장하고, 일반성에 대한 수치적 증거를 탐색하는 것.

제안 방법

• 국소 순수화 구조를 가진 1입력/2출력 완전 양의 지도(Y자형 채널)로부터 구성된 MPDOs를 분석한다.
• 양자 상관관계의 척도로 조건부 상호정보량(CMI)을 사용하고, 그 지수적 감쇠를 준국소성의 징후로 간주한다.
• 강력한 데이터 처리 부등식(DPI) 상수와 CMI의 트레이스 노름 변형을 사용하여 상관관계 감쇠를 경계한다.
• 힐버트의 사영 기하학과 일반화된 양자 Wielandt 부등식을 활용하여 CP-매핑의 순차적 수축 비율을 균일하게 경계한다.
• 자명한 보정 대수 조건 하에서 비틀림이 없는 및 엄밀히 양의 채널에 대해 CMI의 상한을 유도한다.
• 모든 Y자형 채널에서 자명한 보정 대수를 가진 경우 지수적 CMI 감쇠를 암시하는 완전 수축적 DPI에 대한 추측을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Y자형 채널의 어떤 조건에서 결과 MPDO의 조건부 상호정보량이 지수적으로 감쇠하는가?
• RQ2 자명한 보정 대수를 가진 Y자형 채널로부터 유도된 일반적인 MPDO에서 CMI의 지수적 감쇠가 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ3 이러한 설정에서 트레이스 노름 변형 CMI는 표준 CMI와 동일한 감쇠 행동을 보이는가?
• RQ4 보정 대수가 MPDOs의 CMI 감쇠 속도를 결정하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 측정된 MPDOs에서 지수적 CMI 감쇠를 위한 충분조건이 임의의 하르-유니터리 채널에 대해 일반적으로 만족되는가?

주요 결과

• 비틀림이 없는 Y자형 채널이며 자명한 보정 대수를 가진 경우, 조건부 상호정보량은 시스템 크기와 함께 지수적으로 감쇠한다.
• 2노름에 대한 강력한 데이터 처리 부등식과 CMI의 편미분에 대한 연속성에 의해 CMI의 지수적 감쇠가 확립된다.
• 기억 상실 성분을 가진 채널의 경우, 감쇠 상수에 대한 약한 가정 하에 CMI의 지수적 감쇠가 증명된다.
• 이를 바탕으로 모든 Y자형 채널에서 자명한 보정 대수를 가진 경우 지수적 CMI 감쇠를 암시하는 추측을 도입한다.
• 수치적 증거는 하르-무작위 유니터리로 생성된 채널에서 측정된 MPDOs에 대한 지수적 CMI 감쇠의 충분조건이 일반적으로 만족됨을 확인한다.
• 모든 분석 사례에서 트레이스 노름 변형 CMI는 표준 CMI보다 열악한 경계를 갖지 않는다.