[논문 리뷰] Matrix product operator algebras I: representations of weak Hopf algebras and projected entangled pair states

András Molnár, Alberto Ruiz-de-Alarcón외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 12.

Quantum-Dot Cellular Automata인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 행렬 곱 연산자(MPO) 대수학과 약한 호프 대수학 사이의 포괄적인 프레임워크를 수립하며, 단순한 피벗럴 약한 호프 대수학이 '끌어내림 대수학'임을 보여준다. MPO 표현을 통해 호프 대수학의 표현이 Kitaev의 양자 듀얼 모델과 Levin-Wen의 스트링넷 모델을 통합된 수학적 틀에서 구성할 수 있음을 보이며, MPO 대칭성과 드린펠트 듀얼 표현을 통해 이들의 공통된 위상적 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

Matrix Product Operators (MPOs) are tensor networks representing operators acting on 1D systems. They model a wide variety of situations, including communication channels with memory effects, quantum cellular automata, mixed states in 1D quantum systems, or holographic boundary models associated to 2D quantum systems. A scenario where MPOs have proven particularly useful is to represent algebras of non-trivial symmetries. Concretely, the boundary of both symmetry protected and topologically ordered phases in 2D quantum systems exhibit symmetries in the form of MPOs. In this paper, we develop a theory of MPOs as representations of algebraic structures. We establish a dictionary between algebra and MPO properties which allows to transfer results between both setups, covering the cases of pre-bialgebras, weak bialgebras, and weak Hopf algebras. We define the notion of pulling-through algebras, which abstracts the minimal requirements needed to define topologically ordered 2D tensor networks from MPO algebras. We show, as one of our main results, that any semisimple pivotal weak Hopf algebra is a pulling-trough algebra. We demonstrate the power of this framework by showing that they can be used to construct Kitaev's quantum double models for Hopf algebras solely from an MPO representation of the Hopf algebra, in the exact same way as MPO symmetries obtained from fusion categories can be used to construct Levin-Wen string-net models, and to explain all their topological features; it thus allows to describe both Kitaev and string-net models on the same formal footing.

연구 동기 및 목표

• 알gebra적 구조(예비bialgebra, 약한 비알지브라, 약한 호프 대수학)와 행렬 곱 연산자(MPO) 표현 사이의 체계적 사전을 수립하기 위해.
• ‘끌어내림 대수학’을 정의하고 특성화하여, 2차원 텐서 네트워크에서 위상적 순서를 가능하게 하는 최소한의 대수적 구조로 삼기 위해.
• 단순한 피벗럴 약한 호프 대수학이 끌어내림 조건을 만족함을 보여주어 위상적 순서 모델을 구성할 수 있음을 입증하기 위해.
• 호프 대수학의 MPO 표현을 통해 Kitaev의 양자 듀얼 모델과 Levin-Wen의 스트링넷 모델을 통합적으로 기술하기 위해.
• C*-호프 대수학의 드린펠트 듀얼이 MPO-입사형 PEPS에서 대칭 대수학으로 작용하며, anyonic Excitations가 이 대수학의 기약 표현으로 실현됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• MPO와 그 대수적 연산을 표현하기 위한 그래픽 텐서 계산 기호 체계를 도입하여, 연산자 합성과 대칭성에 대한 시각적 추론을 가능하게 한다.
• 예비bialgebra와 약한 비알지브라의 MPO 표현을 정의하며, 코세미단순성과 코중앙 요소가 관련된 행렬 곱 상태에서의 입사성과 비퇴화성과 대응됨을 보여준다.
• 2차원 텐서 네트워크에서 위상적 순서를 정의하는 데 필요한 대수적 구조의 일반화로 ‘끌어내림 대수학’의 개념을 도입한다.
• 모든 단순한 피벗럴 약한 호프 대수학이 끌어내림 대수학임을 증명하여, 위상적 순서를 위한 필수 조건을 확립한다.
• C*-호프 대수학 A*의 드린펠트 듀얼 D(A*)를 구성하고, 결함이 있는 텐서 네트워크에서 작용하는 연산자 Bf(p,v)와 Aw(p,v)를 통해 D(A*)의 표현을 정의한다.
• 이 연산자의 작용이 anyonic Excitations를 드린펠트 듀얼의 기약 표현으로 실현하며, anyonic 통계가 대수적 교환 관계에 암묵적으로 포함됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 순서를 가진 2차원 양자 시스템의 MPO 대칭성의 배경이 되는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ2 ‘끌어내림’의 개념을 어떻게 추상화하여 텐서 네트워크에서 위상적 순서를 위한 최소 조건을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 해밀토니언에 대한 사전 지식 없이도 호프 대수학의 MPO 표현만으로 Kitaev의 양자 듀얼 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ4 MPO-입사형 PEPS는 어떻게 anyonic Excitations를 실현하며, 드린펠트 듀얼은 이 과정에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 MPO 표현의 형식은 Kitaev와 Levin-Wen 모델이 기술하는 다양한 위상적 상을 통합적으로 기술하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 단순한 피벗럴 약한 호프 대수학이 끌어내림 대수학임을 증명하여, MPO 대수학으로부터 위상적 순서를 가진 2차원 텐서 네트워크를 구성하는 데 필요한 충분하고도 필수적인 조건을 제공한다.
• C*-호프 대수학 A*의 드린펠트 듀얼 D(A*)는 MPO-입사형 PEPS에서 대칭 대수학으로 작용하며, 해밀토니언 항목 Bf(p,v)와 Aw(p,v)는 결함 공간에서 D(A*)의 표현을 이룬다.
• 모델의 anyons는 드린펠트 듀얼 D(A*)의 기약 표현 부문으로 식별되며, 그들의 끈적임과 융합 규칙은 MPO 연산자의 대수적 교환 관계에 암묵적으로 포함되어 있다.
• Kitaev 해밀토니언의 플라켓 항목 Bp가 플라켓을 둘러싼 임의의 정점 v에 대해 Bω(p,v)와 동일함을 보여주며, 여기서 ω는 A*의 하어 적분임을 확인하여 MPO 기반 구성의 일관성을 입증한다.
• 이 프레임워크는 동일한 호프 대수학의 MPO 표현으로부터 Kitaev의 양자 듀얼 모델과 Levin-Wen의 스트링넷 모델을 모두 구성할 수 있어, 그들의 대수적 기술을 통합한다.
• MPO 연산자가 결함에 작용하는 방식을 명시적으로 계산하였다: Bf(p,v)는 결함 텐서를 ψ(f(2))로 공액시키고 f(1)(x(1)) · f(3) ◦ S(x(3))를 적용하며, Aw(p,v)는 오른쪽 곱셈을 통해 w를 적용하여 MPO 구조를 유지한다.