[논문 리뷰] Matrix Product Operators, Matrix Product States, and ab initio Density Matrix Renormalization Group algorithms

Garnet Kin‐Lic Chan, Anna Keselman외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 아비니티 밀도 행렬 보정 그룹(DMRG) 방법에서 두 개의 형식적 접근법 사이에 엄밀한 수학적이고 계산적인 다리를 구축한다: 기존의 보정된 연산자 언어와 현대적인 행렬 곱 연산자(MPO)/행렬 곱 상태(MPS) 형식. 이는 실제로 동일한 구현을 보여주며, 효율적인 MPO 기반 DMRG 스weep을 가능하게 하고, 두 가지 알고리즘적 개선—해밀토니안 압축과 연산자 합 표현 방식—을 도입하여 완벽한 계산 병렬성과 감소된 결합 차원을 실현한다.

ABSTRACT

Current descriptions of the ab initio DMRG algorithm use two superficially different languages: an older language of the renormalization group and renormalized operators, and a more recent language of matrix product states and matrix product operators. The same algorithm can appear dramatically different when written in the two different vocabularies. In this work, we carefully describe the translation between the two languages in several contexts. First, we describe how to efficiently implement the ab-initio DMRG sweep using a matrix product operator based code, and the equivalence to the original renormalized operator implementation. Next we describe how to implement the general matrix product operator/matrix product state algebra within a pure renormalized operator-based DMRG code. Finally, we discuss two improvements of the ab initio DMRG sweep algorithm motivated by matrix product operator language: Hamiltonian compression, and a sum over operators representation that allows for perfect computational parallelism. The connections and correspondences described here serve to link the future developments with the past, and are important in the efficient implementation of continuing advances in ab initio DMRG and related algorithms.

연구 동기 및 목표

• 아비니티 DMRG에서 기존의 보정된 연산자 접근법과 현대적인 MPO/MPS 형식을 통합하는 것.
• 원래의 보정된 연산자 방법과 동등성을 유지하면서 MPO 기반 코드를 사용한 DMRG 스위프의 효율적 구현을 가능하게 하는 것.
• 일반적인 MPO/MPS 대수를 순수한 보정된 연산자 기반 DMRG 프레임워크 내에서 어떻게 구현할 수 있는지 보여주는 것.
• MPO 언어에 기반한 두 가지 알고리즘적 개선—해밀토니안 압축과 연산자 합 표현 방식—을 도입하는 것.
• 최적화된 부분 해밀토니안 정의와 중복 제거를 통해 계산 비용과 결합 차원을 감소시키는 것.

제안 방법

• DMRG 스위프 중 보정된 연산자와 MPS에 대한 MPO의 부분 추적 간의 등가성을 유도한다.
• 전체 MPO를 명시적으로 구성하지 않고도 부분 수축을 통해 기대값을 계산하기 위해 MPO 기반 표현을 사용한다.
• 서브-해밀토니안을 독립적으로 다룰 수 있도록 해밀토니안의 합-오버-오퍼레이터 표현 방식을 도입하여 완벽한 병렬 처리를 가능하게 한다.
• 같은 右끝 연산자를 가진 항들을 묶어 $\hat{H}_m$의 대체 정의를 제안함으로써 중복을 줄인다.
• 다양한 MPO 표현 방식에 대한 결합 차원 $D(k)$를 분석하고 渐近적 스케일링을 유도한다: $\bar{D}_1 = \frac{2}{3}K^2$, $\bar{D}_4 = \frac{5}{3}K^2$, $\bar{D}_5 = K^2$.
• 연산자 $\hat{T}_2$와 $\hat{T}_4$에 대한 재귀 관계를 활용하여 주요 결합 차원 $D(m,k) = 2(2m - k)$를 추정한다 ($k < m$일 때), 그리고 $D(m,k) = 1$ ($k > m$일 때).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아비니티 DMRG에서 기존의 보정된 연산자 형식은 어떻게 MPO/MPS 언어로 체계적으로 매핑될 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안을 단일 MPO가 아니라 연산자들의 합으로 표현할 경우 계산적이고 구조적인 영향은 무엇인가?
• RQ3 해밀토니안 압축과 합-오버-오퍼레이터 표현 방식은 DMRG 알고리즘에서 병렬성 향상과 결합 차원 감소에 기여할 수 있는가?
• RQ4 서브-해밀토니안 정의($\hat{H}_m$)의 선택이 효과적 결합 차원과 계산 비용에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ5 연산자 중복은 MPO 기반 DMRG 구현에서 결합 차원에 어떤 정량적 영향을 미치는가?

주요 결과

• MPO 기반 DMRG 스위프는 원래의 보정된 연산자 구현과 형식적으로 동등하여 상호 교환 가능하다.
• 합-오버-오퍼레이터 표현 방식은 서브-해밀토니안을 독립적으로 처리할 수 있도록 하여 완벽한 계산 병렬성을 실현한다.
• 해밀토니안 압축은 실현 가능하며 유익하여 저장 및 처리해야 할 항의 수를 줄인다.
• 표준 $\hat{H}_m$ 정의에서 $a^{R\backslash}$ 및 $a^{R\backslash}$ 연산자의 중복 사용은 평균 결합 차원을 $\bar{D}_4 = \frac{5}{3}K^2$로 높이며, 이는 기준값인 $\bar{D}_1 = \frac{2}{3}K^2$보다 높다.
• 같은 右끝 연산자를 가진 항들을 묶어 $\hat{H}_m$를 재정의함으로써 평균 결합 차원은 $\bar{D}_5 = K^2$로 감소하며, 이는 $\bar{D}_4$에 비해 상당한 개선이다.
• 개선된 정의에 따른 결합 차원 $D_5(k)$는 $k$에 대해 선형으로 감소하며, $D_5(k) = O(2K^2 - 2kK)$로 표현되며, 그 평균 $\bar{D}_5 = K^2$는 중복 제거에 기반한 분석적 추정과 일치한다.