[논문 리뷰] Matrix product state approximations for infinite systems

Norbert Schuch, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 15.

Quantum many-body systems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한한 스핀 체인에서 고립된 국소 해밀토니안의 기저 상태가 매트릭스 곱 상태(MPS)로 효율적으로 근사 가능하다는 것을 증명한다. 이 경우 결합 차원 $ D \sim (\ell-1)/\epsilon $로 스케일링되며, 여기서 $ \ell $는 스핀 수이고 $ \epsilon $는 감소 밀도 행렬에 대한 추적 노름에서의 원하는 정밀도이다. 방법은 잘라낸 스킴 분해와 MPO 평균화를 통해 이동 대칭성을 가진 MPS를 구성하며, 시스템 크기와 무관하게 비용이 발생하고 간격에 따라 다항식 이하로 스케일링된다.

ABSTRACT

We prove that ground states of gapped local Hamiltonians on an infinite spin chain can be efficiently approximated by matrix product states with a bond dimension which scales as D~(L-1)/epsilon, where any local quantity on L consecutive spins is approximated to accuracy epsilon.

연구 동기 및 목표

• 무한한 스핀 체인에서 고립된 국소 해밀토니안의 기저 상태가 시스템 크기와 무관한 결합 차원을 가진 매트릭스 곱 상태(MPS)로 효율적으로 근사 가능하다는 것을 입증하는 것.
• 열역학적 극한에서 효율적인 MPS 근사가 존재하는지 여부에 대한 오랜 열린 문제를 해결하는 것. 이 경우 전역 히트니티가 정의되지 않기 때문에 직교성 문제가 발생한다.
• 국소 감소 밀도 행렬을 정밀도 $ \epsilon $로 근사하기 위해 $ D = O((\ell-1)/\epsilon) $만 필요하며, 이는 시스템 크기와 독립적이라는 것을 보여주는 것.
• 자르기 스킴 분해와 이동 대칭성 MPO를 사용하여 이러한 MPS 근사치를 구성하는 구축 방법을 개발하는 것.
• 필요한 결합 차원이 정밀도의 역수에 대해 지수함수적으로 스케일링되며, 점 渐진적으로 스펙트럼 간격 $ \Delta $와 독립적이라는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 정확한 기저 상태 $ |\Phi\rangle $를 $ k+1 $개 위치에서 잘라내어 결합 차원 $ \chi $를 가진 상태를 얻고, 첫 번째 $ \chi $개 이외의 스킴 계수를 잘라내어 오차가 $ \delta $ 이내가 되도록 한다.
• 면적 법칙 결과 $ \log \delta \leq \log c_1 - c_2 \Delta^{1/3} (\log \chi)^{4/3} $를 사용하여 잘라낸 오차 $ \delta $를 스펙트럼 간격 $ \Delta $와 국소 힐베르트 공간 차원과 연결한다.
• 자르기 후 외부 스핀을 적분하여 $ k $ 스핀에 대한 행렬 곱 연산자(MPO)를 구성한다. 이 MPO는 결합 차원 $ D = \chi^2 $이며, $ k $ 스핀에서의 감소 상태가 정확한 기저 상태를 근사한다.
• MPO의 무한한 텐서 곱을 취하고 $ k $-스핀 이동에 대해 합산함으로써 무한한 이동 대칭성 MPO를 구성한다. 이로 인해 결합 차원 $ D = k \chi^2 $인 상태를 얻는다.
• 감소 밀도 행렬의 오차를 $ \| \rho_\ell - \sigma_\ell \|_{\mathrm{tr}} \leq 2\sqrt{2k\delta} + \frac{2(\ell-1)}{k} $로 경계짓고, 이는 $ k $ 최적화로 최소화된다.
• 최적의 $ k = 2^{1/3} (\ell-1)^{2/3} / \delta^{1/3} $를 구하고, 면적 법칙 경계에 대입하여 최종 경계 $ D(\epsilon) \leq \frac{6(\ell-1)}{\epsilon} \exp\left[ \frac{2}{c_2^{3/4} \Delta^{1/4}} \left( \log \frac{(\ell-1)\tilde{c}_1}{\epsilon^3} \right)^{3/4} \right] $를 유도한다. 여기서 $ \tilde{c}_1 = 108 c_1 $이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열역학적 극한에서 고립된 국소 해밀토니안의 기저 상태를 매트릭스 곱 상태(MPS)로 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 국소 관측량을 $ \epsilon $ 정밀도로 근사하기 위해 필요한 결합 차원이 무한한 시스템에서 시스템 크기에 따라 스케일링되는가?
• RQ3 모든 $ \ell $-스핀 감소 밀도 행렬이 정확한 기저 상태와 $ \epsilon $ 이내에 있도록 이동 대칭성 MPS를 구성할 수 있는가?
• RQ4 필요한 결합 차원이 스펙트럼 간격 $ \Delta $, 스핀 수 $ \ell $, 그리고 원하는 정밀도 $ \epsilon $에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ5 국소 관측량의 근사 오차는 시스템 크기와 무관하게 경계될 수 있으며, 이는 유한하고 확장 가능한 결합 차원으로 달성 가능한가?

주요 결과

• 기저 상태의 $ \ell $-스핀 감소 밀도 행렬을 추적 노름 오차 $ \epsilon $ 이내로 근사하기 위해 필요한 결합 차원은 $ D(\epsilon) = O\left( \frac{\ell-1}{\epsilon} \right) $로 스케일링되며, 이는 시스템 크기와 독립적이다.
• 경계에 포함된 지수 계수는 $ \ell/\epsilon $의 어떤 거듭제곱보다도 느리게 증가하므로, 작은 $ \epsilon $에서는 효과적인 스케일링이 $ D \sim (\ell-1)/\epsilon $가 되어 거의 최적이다.
• 이 방법은 단일의 유한한 결합 차원을 가진 MPS를 사용하여 모든 국소 관측량(즉, 모든 $ \ell $-스핀 감소 밀도 행렬)을 정확하게 근사한다. 이는 무한한 시스템 극한에서도 성립한다.
• 이 구성은 스킴 계수에 대한 면적 법칙 경계와 이동에 대한 MPO 평균화를 통해 이동 대칭성을 강제하는 데 의존한다.
• 결합 차원은 점 渐진적으로 스펙트럼 간격 $ \Delta $와 독립적이며, $ \Delta^{-1/4} $에 대한 지수적 의존성은 다항식 이하이므로 작은 $ \epsilon $에서는 무시 가능하다.
• 결과는 MPS가 무한한 시스템에서 기저 상태를 효율적이고 확장 가능한 방식으로 표현할 수 있음을 확인하며, 실무에서 iDMRG와 같은 MPS 기반 방법의 사용을 정당화한다.