[논문 리뷰] Matrix product state techniques for two-dimensional systems at finite temperature

Benedikt Bruognolo, Zhenyue Zhu외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Quantum many-body systems참고 문헌 48인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 고온에서 밀도 행렬 순수화와 저온에서 최소 얽힘 typical 열 상태(METTS) 알고리즘을 활용한 행렬 곱 상태(MPS) 기법이 이중 차원 양자 스핀 체계의 정확한 유한온도 시뮬레이션을 가능하게 한다고 보여준다. 이 방법은 삼각형 헤이젠베르크 반자성체와 도전적인 $J_1$-$J_2$ XXZ 모델에 대해 최신 기술 수준의 결과를 달성하며, METTS를 통해 임계 온도를 추출하고, 스위프 게이트를 사용한 수지-트로터 분해가 2D 클러스터에서 허구적 시간 진화에 가장 정확하고 효율적인 방법임을 보여준다.

ABSTRACT

The density matrix renormalization group is one of the most powerful numerical methods for computing ground-state properties of two-dimensional (2D) quantum lattice systems. Here we show its finite-temperature extensions are also viable for 2D, using the following strategy: At high temperatures, we combine density-matrix purification and numerical linked-cluster expansions to extract static observables directly in the thermodynamic limit. At low temperatures inaccessible to purification, we use the minimally entangled typical thermal state (METTS) algorithm on cylinders. We consider the triangular Heisenberg antiferromagnet as a first application, finding excellent agreement with other state of the art methods. In addition, we present a METTS-based approach that successfully extracts critical temperatures, and apply it to a frustrated lattice model. On a technical level, we compare two different schemes for performing imaginary-time evolution of 2D clusters, finding that a Suzuki-Trotter decomposition with swap gates is currently the most accurate and efficient.

연구 동기 및 목표

• 기존의 양자 몬테카를로(QMC) 및 급수 전개 방법의 한계를 극복하기 위해 행렬 곱 상태(MPS) 기법을 이중 차원(2D) 양자 체계의 유한온도 시뮬레이션으로 확장하는 것.
• 도전적인 자성체에서의 부호 문제를 해결하기 위해 MPS 기반 기법을 활용함으로써, 기존에는 접근이 어려웠던 영역에 접근할 수 있도록 하는 것.
• 고온에서는 밀도행렬 순수화, 저온에서는 METTS를 조합한 하이브리드 접근법을 개발하고 벤치마킹하여 전체 온도 범위를 커버하는 것.
• 특히 경쟁 상호작용을 가진 체계에서 임계 온도를 정확히 추출하기 위해 METTS 기반 방법을 활용하는 것.
• 2D 클러스터에서의 허구적 시간 진화 방법을 비교하고 최적화하여 MPS 기반 유한온도 시뮬레이션에서 가장 효율적이고 정확한 접근법을 규명하는 것.

제안 방법

• 고온에서는 허구적 시간 진화를 통해 열 밀도 행렬을 계산하기 위해 밀도행렬 순수화 기법을 사용하며, U(1)-스핀 대칭성과 개방 경계 조건을 적용한다.
• 최소 얽힘 typical 열 상태(METTS) 알고리즘은 허구적 시간 진화와 몬테카를로 샘플링을 조합하여 순수화 기법이 실패하는 저온 영역에 접근한다.
• 스위프 게이트를 포함한 두 번째 차수의 수지-트로터 분해를 사용하여 허구적 시간 진화를 수행하며, 이는 2D 클러스터에서 가장 정확하고 효율적인 방법으로 확인되었다.
• 유한한 크기의 클러스터에서 열역학적 극한 물리량을 추출하기 위해 수치적 연결 클러스터 전개(NLCE)를 직사각형 클러스터 그룹화와 제곱형 순서로 적용한다.
• METTS 시뮬레이션에서 유한 길이 효과를 최소화하기 위해 길이 $N_x=8$ 및 $N_x=16$ 실린더에서의 측정값을 바탕으로 밀도-실린더 외삽을 수행한다.
• 특히 복잡한 물리량인 바인더 누적량과 같은 순간 간 상관관계를 고려하기 위해 부트스트랩 재표본화를 통해 통계적 오차 한계를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MPS 기반의 유한온도 방법이 강한 도전성과 부호 문제 존재 시 이중 차원 스핀 체계에서 최신 기술 수준의 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 2D 체계에서 다양한 온도 영역에서 밀도행렬 순수화와 METTS의 성능 및 정확도는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 METTS 기반 방법은 경쟁 상호작용을 포함한 2D 모델에서 임계 온도를 신뢰성 있게 추출할 수 있는가?
• RQ4 MPS 시뮬레이션에서 2D 클러스터의 허구적 시간 진화에 가장 최적의 방법은 무엇이며, 이는 정확도와 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 MPS 기법과 결합한 수치적 연결 클러스터 전개(NLCE)는 2D 체계에서의 유한온도 물리량에 대해 신뢰할 수 있는 열역학적 극한 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 반완전 충진 상태의 삼각형 헤이젠베르크 반자성체는 심각한 부호 문제 존재에도 불구하고 다른 최신 기법과 우수한 일치를 보이며, MPS 접근법의 타당성을 검증한다.
• 정사각형 격자상의 $J_1$-$J_2$ XXZ 모델에 대해서는 METTS 기반 방법이 높은 정밀도로 임계 온도를 성공적으로 추출하였으며, 가용한 QMC 결과와도 일치한다.
• METTS 알고리즘은 $16\times 4$ 실린더에서 $T=0.25$까지의 저온 영역에 접근할 수 있으나, 순수화 기법은 $N_y=4$ 실린더에서 $T \approx 0.8$ 이하에서는 과도한 결합 차원 요구로 인해 비현실적이 된다.
• METTS에서 요구하는 최대 결합 차원은 $T \geq 0.25$에서 $m=2000$ 이하로 유지되지만, 순수화 기법은 저온에서 $m \gg 7000$이 요구되어 계산적으로 비현실적이 된다.
• 스위프 게이트를 포함한 수지-트로터 분해가 2D 클러스터에서 허구적 시간 진화에 가장 정확하고 효율적인 방법으로 확인되었으며, 다른 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 실린더 끝부분에 局부 핀딩 필드를 적용하는 것이 도메인 월 형성을 억제하고, 순서 매개변수 및 임계 온도의 명확한 결정에 필수적이다.