[논문 리뷰] Matrix Product States and Projected Entangled Pair States: Concepts, Symmetries, and Theorems

J. I. Cirac, David Pérez-Garcı́a외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 24.

Quantum many-body systems참고 문헌 142인용 수 61

한 줄 요약

이 리뷰는 Matrix Product States (MPS)와 Projected Entangled Pair States (PEPS)를 조사하여, 그들의 텐서-네트워크 구성, 대칭성 특성, 재규격화, 그리고 위상 순서와의 연관성을 설명합니다.

ABSTRACT

The theory of entanglement provides a fundamentally new language for describing interactions and correlations in many body systems. Its vocabulary consists of qubits and entangled pairs, and the syntax is provided by tensor networks. We review how matrix product states and projected entangled pair states describe many-body wavefunctions in terms of local tensors. These tensors express how the entanglement is routed, act as a novel type of non-local order parameter, and we describe how their symmetries are reflections of the global entanglement patterns in the full system. We will discuss how tensor networks enable the construction of real-space renormalization group flows and fixed points, and examine the entanglement structure of states exhibiting topological quantum order. Finally, we provide a summary of the mathematical results of matrix product states and projected entangled pair states, highlighting the fundamental theorem of matrix product vectors and its applications.

연구 동기 및 목표

• 텐서 네트워크가 얽힘(entanglement) 경로를 인코딩하는 로컬 텐서들을 통해 다체 파동함수를 어떻게 서술하는지 설명한다.
• 텐서 네트워크 대칭성이 어떻게 전역 얽힘 패턴과 물질의 상을 반영하는지 설명한다.
• 실공간 재규격화군 흐름(real-space renormalization group flows), 고정점, 및 이것들이 갭이 있는 상(gapped phases)을 분류하는 데 어떤 역할을 하는지 설명한다.
• PEPS가 벌크-경계 대응을 통해 위상 질서 및 가장자리 현상을 포착하는 방법을 보여준다.
• 기본 정리들(예: MPV의 기본 정리)과 그것들이 MPS/PEPS에 적용되는 내용을 요약한다.

제안 방법

• MPS, MPO, PEPS 및 그들의 무한 버전과 이것들이 기저상태(ground states)와 연산자들을 어떻게 매개하는지 설명한다.
• 정규 형태, 일반 텐서, MPV의 기본 정리와 PEPS까지의 확장에 대해 설명한다.
• PEPS 프레임워크에서 벌크-경계 대응 및 가장자리 이론을 논의한다.
• 상 분류를 위한 실공간 재규격화 및 고정점 텐서 네트워크의 개요를 제공한다.
• 대칭성(글로벌 및 가상)이 텐서 네트워크(TNs) 내에서 SPT 및 위상 질서를 어떻게 분류하는지 요약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지역 텐서 대칭성이 MPS/PEPS에서 전역 특성과 물질의 상을 어떻게 결정하는가?
• RQ2 부모 해밀토니안(parent Hamiltonians)와 그것들의 MPS/PEPS 기저상태 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 텐서 네트워크 대칭성이 1D 및 2D에서 SPT, SET 및 위상 질서를 분류하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 PEPS에 대한 기본 정리의 현황과 범위 및 그것이 정규형에 의미하는 바는 무엇인가?

주요 결과

• 텐서 네트워크는 단일 로컬 텐서를 통해 효율적이고 면적 법칙(area-law)과 일치하는 기저상태 표현을 제공한다.
• 글로벌 및 가상 대칭성은 SPT와 위상 질서를 인코딩하여 체계적인 분류를 가능하게 한다.
• PEPS의 벌크-경계 대응은 고차원의 벌크 특성을 저차원의 경계 이론과 연결한다.
• 기본 정리들(MPV 및 PEPS)은 서로 다른 텐서가 언제 같은 상태를 생성하는지 명확히 하고 정규 형태를 지도하며; PEPS 이론은 아직 발전 중이다.
• TN에서의 재규격화와 고정점은 갭이 있는 시스템의 상과 상전이를 이해하는 프레임워크를 제공한다.