[논문 리뷰] Matrix product states for Hamiltonian lattice gauge theories

Boye Buyens, Karel Van Acoleyen외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 31.

Quantum many-body systems참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 슈윙거 모형—해밀토니안 격자 양자 게이지 이론—을 시뮬레이션할 때, 전체 하이르베르트 공간에서의 비제약성 MPS에 비해 게이지 불변 행렬 곱 상태(MPS)를 사용함으로써 효율성과 정확도가 크게 향상됨을 보여준다. 연속극에서 카이랄 조건의 초월적 발산 행동이 정확히 확인되어, 분석 예측과 이전 수치 결과와 높은 정밀도로 일치하며, D ≈ 1000에 이르는 스핀 차원을 가진 MPS 시뮬레이션을 통해 이를 입증한다.

ABSTRACT

Over the last decade tensor network states (TNS) have emerged as a powerful tool for the study of quantum many body systems. The matrix product states (MPS) are one particular case of TNS and are used for the simulation of 1+1 dimensional systems. In [1] we considered the MPS formalism for the simulation of the Hamiltonian lattice gauge formulation of 1+1 dimensional one flavor quantum electrodynamics, also known as the massive Schwinger model. We deduced the ground state and lowest lying excitations. Furthermore, we performed a full quantum real-time simulation for a quench with a uniform background electric field. In this proceeding we continue our work on the Schwinger model. We demonstrate the advantage of working with gauge invariant MPS by comparing with MPS simulations on the full Hilbert space, that includes numerous non-physical gauge variant states. Furthermore, we compute the chiral condensate and recover the predicted UV-divergent behavior.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 격자 양자 게이지 이론을 시뮬레이션할 때, 비제약성 MPS에 비해 게이지 불변 MPS를 사용하는 데서 유리한 점을 조사하는 것.
• 1+1차원 슈윙거 모형에서 카이랄 조건을 계산하고, 연속극에서의 초월적 발산 행동을 검증하는 것.
• 수치 결과를 분석 예측과 이전 시뮬레이션과 비교하여, 카이랄 조건의 비양자역학적 초월적 발산에 대해 검토하는 것.
• MPS 프레임워크가 몬테카를로 방법으로 접근이 어려운 실시간 동역학과 유한한 페르미온 밀도를 가진 게이지 이론을 시뮬레이션하는 데 신뢰할 수 있는 도구임을 검증하는 것.

제안 방법

• 연구는 1+1차원 슈윙거 모형의 양자 상태를 격자상에서 표현하기 위해 개방 경계 조건과 최대 D = 1000의 스핀 차원을 가진 행렬 곱 상태(MPS)를 사용한다.
• 게이지 불변성을 확보하기 위해, 비물리적 게이지 변형 상태를 피하기 위해 처음부터 물리적, 게이지 불변 부분공간에만 존재하는 MPS를 구성한다.
• 시간적 축 방향의 축가 시스템을 사용하여 스태그러드 페르미온과 코구트-수스킨 이산화를 적용하고, 시스템을 국소 스핀과 U(1) 게이지 자유도를 가진 스핀-게이지 모형으로 매핑한다.
• 지역 연산자의 기대값을 통해 카이랄 조건을 계산하고, 유한한 크기 스케일링과 로그적 피팅을 사용하여 연속극 행동을 추출한다.
• 초월적 발산은 log(x)/√x 및 1/√x 항을 포함하는 함수 형태로 데이터를 피팅하여 분석하며, 비양자역학적 발산 항 −m/(2gπ)log(x)를 분리한다.
• 자기장 기여 Σ_free(x)를 빼서 재정의된 카이랄 조건을 추출하고, 정확한 강상수 결과와 이전 시뮬레이션 결과와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 단계에서 게이지 불변성을 강제함으로써, 해밀토니안 격자 양자 게이지 이론에서 MPS 시뮬레이션의 효율성과 정확도가 크게 향상되는가?
• RQ2 MPS 형식은 슈윙거 모형의 연속극에서 카이랄 조건의 초월적 발산 행동을 정확히 재현할 수 있는가?
• RQ3 카이랄 조건의 비양자역학적 초월적 발산은 얼마나 정확히 분석 예측과 이전 수치 결과와 일치하는가?
• RQ4 D ≈ 1000에 이르는 스핀 차원을 가진 MPS 시뮬레이션은 다양한 페르미온 질량에서 재정의된 카이랄 조건을 얼마나 잘 재현하는가?

주요 결과

• 비제약성 MPS 시뮬레이션의 계산 시간은 전체 하이르베르트 공간에서 불리하게 증가하지만, 게이지 불변 MPS 시뮬레이션은 훨씬 더 효율적이고 정확하다.
• 카이랄 조건은 예측된 초월적 발산 ∝ −m/(2gπ)log(x)를 보이며, 계수 C₁ ≈ 0임을 확인하여 전체 비양자역학적 발산이 자유장 기여에 의해 포함됨을 확인한다.
• 재정의된 카이랄 조건 Σ_ren은 매우 높은 정밀도로 계산되었으며, m/g = 0일 때 Σ_ren = −0.1599288(1)로 정확한 강상수 결과(−0.1599288)와 뛰어난 일치를 보였다.
• m/g = 0.125, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 2일 때 Σ_ren의 결과는 오차 범위 내에서 이전 시뮬레이션 [15]과 정확한 기대값과 일치하여 MPS 접근법의 타당성을 검증하였다.
• 유한한 크기 스케일링과 피팅 절차를 통해 주요 오차 원인이 스핀 차원에 의한 잘라내기 오차가 아니라 피팅에 기인한 통계적 불확실성임을 확인하였으며, D ≈ 1000이 고정밀 결과를 얻는 데 충분함을 입증하였다.
• 이 연구는 MPS 시뮬레이션이 실시간 동역학과 1+1차원 게이지 이론에서의 유한한 페르미온 밀도를 시뮬레이션하는 데 신뢰할 수 있는 방법임을 확인하였다. 이는 연속극에서도 성립한다.