[논문 리뷰] Matrix-valued truncated Toeplitz operators: unbounded symbols, kernels and equivalence after extension

Ryan O’Loughlin|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|2020. 12. 01.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기술적 과제를 회피하기 위해 상자공간을 수정함으로써 유계가 아닌 기호를 가진 행렬값의 잘라낸 토플리츠 연산자(MTTOs)에 대한 새로운 접근을 제안한다. 이는 이러한 MTTO의 핵이 $S^*$-불변 부분공간과 등급동형임을 보이며, 확장 후 등가 토플리츠 연산자를 구성함으로써 다차원 잘라낸 위너-호프 연산자로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This paper studies matrix-valued truncated Toeplitz operators, which are a vectorial generalisation of truncated Toeplitz operators. It is demonstrated that, although there exist matrix-valued truncated Toeplitz operators without a matrix symbol in $L^p$ for any $p \in (2, \infty ]$, there is a wide class of matrix-valued truncated Toeplitz operators which possess a matrix symbol in $L^p$ for some $p \in (2, \infty ]$. In the case when the matrix-valued truncated Toeplitz operator has a symbol in $L^p$ for some $p \in (2, \infty ]$, an approach is developed which bypasses some of the technical difficulties which arise when dealing with problems concerning matrix-valued truncated Toeplitz operators with unbounded symbols. Using this new approach, two new notable results are obtained. The kernel of the matrix-valued truncated Toeplitz operator is expressed as an isometric image of an $S^*$-invariant subspace. Also, a Toeplitz operator is constructed which is equivalent after extension to the matrix-valued truncated Toeplitz operator. In a different yet overlapping vein, it is also shown that multidimensional analogues of the truncated Wiener-Hopf operators are unitarily equivalent to certain matrix-valued truncated Toeplitz operators.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 기호를 가진 행렬값의 잘라낸 토플리츠 연산자(MTTOs) 분석에서 발생하는 기술적 과제를 해결하기 위해.
• MTTO 이론에서 유계가 아닌 기호로 인해 발생하는 제약을 회피하는 새로운 방법을 개발하기 위해.
• 기호 항목이 $L^p$-기호인 MTTOs($p \in (2, \infty]$)의 핵을 $S^*$-불변 부분공간의 등급이sov메트릭 영상으로 특성화하기 위해.
• 주어진 MTTO와 등가인 새로운 토플리츠 연산자를 확장 후 구성하기 위해.
• 다차원 잘라낸 위너-호프 연산자와 특정 MTTOs 사이의 유니터리 등가성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 분석에 더 적합한 형태로 MTTO를 변형하기 위해 상자공간 수정 기법을 도입하기 위해.
• 베르링-럭스 정리와 하르디 공간 내 직교 분해를 사용하여 모델 공간 $K_\Theta$를 $S^*$-불변 부분공간으로 특성화하기 위해.
• 기호 $G$를 행렬 기호로 정의하고, $f \in K_\Theta \cap (H^\infty)^n$ 에 대해 $A_G^\Theta(f) = P_\Theta(Gf)$ 로 MTTO를 정의하기 위해.
• 기호 $G \in L^{(p,n\times n)}$ 이고 $p \in (2, \infty]$ 이면, 수정된 연산자가 $S^*$-불변 부분공간의 등급이sov메트릭 영상으로 핵을 특성화할 수 있음을 증명하기 위해.
• 유니터리 등가성과 확장 기법을 통해 MTTO의 스펙트럼 행동을 일치시키는 새로운 토플리츠 연산자를 구성하기 위해.
• 푸리에 및 카이리 변환을 적용하여 단위 원판 상의 MTTO를 실수선 상의 잘라낸 위너-호프 연산자와 연결하고, $n\times n$ 경우에서 유니터리 등가성을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계가 아닌 기호를 가진 행렬값의 잘라낸 토플리츠 연산자의 핵은 $S^*$-불변 부분공간으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 기호가 $L^\infty$ 에 속하지 않을 경우에도 확장 후 표준 토플리츠 연산자가 MTTO와 등가가 될 수 있는가?
• RQ3 다차원 잘라낸 위너-호프 연산자와 행렬값의 잘라낸 토플리츠 연산자 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 MTTO의 상자공간을 수정함으로써 유계가 아닌 기호를 가진 연산자의 분석이 어떻게 가능해지는가?
• RQ5 언제 잘라낸 위너-호프 연산자가 MTTO와 유니터리 등가인가?

주요 결과

• 기호 $G \in L^{(p,n\times n)}$ 이고 $p \in (2, \infty]$ 이면, MTTO의 핵은 $S^*$-불변 부분공간과 등급동형이다.
• 확장 후 MTTO와 등가인 새로운 토플리츠 연산자가 구성되어 스펙트럼 링크를 제공한다.
• 다차원 잘라낸 위너-호프 연산자와 특정 MTTOs 사이의 유니터리 등가성은 푸리에 및 카이리 변환을 포함한 유니터리 변환을 통해 성립한다.
• 이 방법은 $L^p$-기호 설정으로의 등가 문제로 환원함으로써 유계가 아닌 기호를 가진 MTTO의 분석을 가능하게 한다.
• 결과는 스칼라 경우로 일반화되며, 고전적인 잘라낸 토플리츠 연산자에 대해서도 새로운 통찰을 제공한다.
• 잘라낸 위너-호프 연산자와 MTTO 사이의 등가성은 $n\times n$ 행렬 경우로 확장되며, MIMO 시스템 및 적분 방정식에의 적용이 가능하다.