[논문 리뷰] Matrix weighted Poincaré inequalities and applications to degenerate elliptic systems

Joshua Isralowitz, Kabe Moen|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 행렬 $A_p$ 가중치에 의해 지배되는 열화된 타원형 방정식 시스템에 대해 행렬 가중치가 부여된 파incare 및 소볼레프 부등식을 수립하며, Fabes, Kenig, Serapioni의 고전적 결과를 확장한다. 약한 해의 존재성, 정규성, 하올더 연속성과 함께, 행렬 가중치가 부여된 $L^p$ 공간에서 리에스 및 분수 최대 연산자의 유계성도 증명하며, 전체적인 행렬 $A_{p,q}$ 이론을 도입한다.

ABSTRACT

We prove Poincaré and Sobolev inequalities in matrix A${}_p$ weighted spaces. We then use these Poincaré inequalities to prove existence and regularity results for degenerate systems of elliptic equations whose degeneracy is governed by a matrix A${}_p$ weight. Such results parallel earlier results by Fabes, Kenig, and Serapioni for a single degenerate equation governed by a scalar A${}_p$ weight. In addition, we prove Cacciopoli and reverse Hölder inequalities for weak solutions of the degenerate systems. As a means to prove the Poincaré inequalities we prove that the Riesz potential and fractional maximal function operators are bounded on matrix weighted $L^p$ spaces and go on to develop an entire matrix A${}_{p, q}$ theory.

연구 동기 및 목표

• 행렬 $A_p$ 가중치를 갖는 열화된 타원형 방정식 시스템에 대해 고전적 파incare 및 소볼레프 부등식을 확장한다.
• 해당 시스템에 대해 약한 해의 존재성과 하올더 연속성을 수립한다.
• 행렬 가중치가 부여된 $L^p$ 공간에서 리에스 및 분수 최대 연산자에 대한 종합적인 행렬 $A_{p,q}$ 이론을 구축한다.
• Fabes, Kenig, Serapioni의 스칼라 $A_p$ 결과를 $n \neq d$ 인 행렬 가중치 시스템으로 일반화한다.

제안 방법

• 행렬 $A_p$ 조건을 사용하여 $\vec{f} \in C_0^1(Q)$ 에 대해 행렬 가중치가 부여된 파incare 부등식을 증명하며, 특성 $[W]_{A_p}$ 에 대한 정확한 의존성을 확보한다.
• duality 및 외삽 기법을 통해 $L^p(W)$ 공간에서 행렬 가중치가 부여된 소볼레프 부등식을 수립한다.
• 카치오펠리 및 역 메이어스-하올더 부등식을 사용하여 열화된 시스템에서 기울기 및 해의 노름을 제어한다.
• 행렬 $A_p$ 조건을 적용하여 리에스 잠재력 및 분수 최대 연산자가 $L^p(W)$ 에서 유계임을 증명한다.
• 가중치가 부여된 노름 부등식을 사용하여 열화된 시스템의 약한 해에 대한 사전 추정치를 유도한다.
• 스칼라 가중치 결과를 행렬 가중치로 확장함으로써 전체적인 행렬 $A_{p,q}$ 이론을 구축하며, 정확한 연산자 유계성도 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스칼라 가중치가 아닌 행렬 $A_p$ 가중치를 갖는 열화된 타원형 방정식 시스템에 대해 파incare 및 소볼레프 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 해당 행렬 가중치가 부여된 열화된 시스템의 약한 해는 하올더 연속성을 갖는가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?
• RQ3 리에스 잠재력 및 분수 최대 연산자가 행렬 가중치가 부여된 $L^p$ 공간에서 유계인지, 그리고 $[W]_{A_p}$ 에 따라 어떻게 표현되는가?
• RQ4 스칼라 경우와 유사하게 전체적인 $A_{p,q}$ 이론을 행렬 가중치에 대해 개발할 수 있는가?
• RQ5 파incare 상수의 정확한 의존성은 행렬 $A_p$ 특성 $[W]_{A_p}$ 에 따라 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 $1 < p < ∞$ 에 대해 $\epsilon \approx [W]_{A_p}^{-\max\{1, p'/p\}}$ 이고 $C \approx [W]_{A_p}^{\max\{1+2p'/p, 2+p'/p\}}$ 이라 하면, 다음 행렬 가중치가 부여된 파incare 부등식이 성립한다: $\left(\frac{1}{|Q|}\int_Q |W^{1/p}(x)\vec{f}(x)|^{p+\epsilon}\,dx\right)^{1/(p+\epsilon)} \lesssim |Q|^{1/d} \left(\int_Q \|W^{1/p}(x)D\vec{f}(x)\|^{p-\epsilon}\,dx\right)^{1/(p-\epsilon)}$.
• 약한 해 $\vec{u}$ 에 대해 카치오펠리 부등식이 성립한다: $\int_{B_r} \|W^{1/p} D\vec{u}\|^p \,dx \lesssim \int_{B_r} \|W^{-1/p} F\|^{p'} \,dx + \frac{1}{r^p} \int_{B_r \setminus B_{r/2}} |W^{1/p} \vec{u}|^p \,dx$.
• 역 메이어스-하올더 부등식이 증명되었으며, 다음을 보여준다: $\|W^{1/p} D\vec{u}\|_{L^p(B_{r/2})} \lesssim \|W^{-1/p} F\|_{L^{p'}(B_r)} + \|W^{1/p} D\vec{u}\|_{L^{p-\epsilon}(B_r)}$.
• 행렬 $A_p$ 가중치 $W$ 가 부여된 $L^p(W)$ 에서 리에스 잠재력 및 분수 최대 연산자가 유계이며, 연산자 노름은 $[W]_{A_p}$ 에 따라 결정된다.
• 약한 해의 하올더 연속성이 확립되었다: $p \geq d$ 이면 $|\vec{u}(x) - \vec{u}(y)| \lesssim C_{x,y} R^{-d(2-1/p)\epsilon} |x-y|^{1/d - 1/p + \epsilon}$ 이며, $C_{x,y}$ 는 $W^{-1/p}$ 의 국소 $L^{p'}$ 노름에 따라 달라진다.
• 완전한 행렬 $A_{p,q}$ 이론이 개발되었으며, 스칼라 가중치 결과를 행렬 가중치로 일반화하였고, 정확한 연산자 유계성과 외삽 원리가 포함되어 있다.