[논문 리뷰] Maximal $\bf L^p$ analysis of finite element solutions for parabolic equations with nonsmooth coefficients in convex polyhedra

Buyang Li, Weiwei Sun|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 29.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 볼록 다면체 영역에서 미끄러운 계수를 가진 포아송 방정식의 갈레르킨 유한요소 해에 대해 최적의 $ L^p $ 오차 추정과 이산 최대 $ L^p $ 정규성 결과를 수립한다. 분할된 반군의 해석성과 분산 계수의 $ W^{1,N+\beta} $-정규성 하에서 가중 $ L^p $ 추정을 증명함으로써, 로그 인자 없이 최적의 수렴 속도를 달성하며, 최대 $ L^p $ 이론을 미끄러운 계수로 확장한다.

ABSTRACT

The paper is concerned with Galerkin finite element solutions for parabolic equations in a convex polygon or polyhehron with a diffusion coefficient in $W^{1,N+ε}$ for some $ε>0$, where $N$ denotes the dimension of the domain. We prove the analyticity of the semigroup generated by the discrete elliptic operator, the discrete maximal $L^p$ regularity and the optimal $L^p$ error estimate of the finite element solution for the parabolic equation.

연구 동기 및 목표

• 비스무스 계수를 가진 포아송 방정식의 유한요소 해에 대한 이산 최대 $ L^p $ 정규성을 수립하기 위해.
• 볼록 다면체 영역에서 갈레르킨 유한요소 방법에 대해 최적의 $ L^p $ 오차 추정을 증명하기 위해.
• 분산 계수 $ a $가 $ W^{1,N+\beta} $에 속할 때, 최대 $ L^p $ 분석을 스무스성 가정을 완화함으로써 확장하기 위해.
• 계수의 $ W^{1,N+\beta} $-정규성과 영역의 볼록성 조건을 활용하여 오차 추정에서 로그 인자를 제거하기 위해.
• 계수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 $ L^p $-노름 분석을 위한 통합된 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유한요소 연산자 $ A_h $에 의해 생성되는 이산 반군 $ \{E_h(t)\}_{t>0} $의 해석성을 증명하여 $ L^p $-노름에서의 안정성을 확보하기 위해.
• 최대 정규성에 핵심적인 이산 리졸베이트 추정 $ \| (\lambda + A_h)^{-1} v_h \|_{L^\infty} \leq C \lambda^{-1} \| v_h \|_{L^\infty} $ 를 $ \lambda \in \Sigma_{\varphi + \pi/2} $ 에 대해 수립하기 위해.
• 가중 $ L^p $-추정과 $ L^q $에서의 리프스 변환 유계성에 기반하여 $ \| \nabla u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C \| f \|_{L^p((0,T);L^q)} $ 를 유도함으로써 최대 $ L^p $ 정규성의 핵심을 확보하기 위해.
• 데 지오르기-나시-모저 이론과 $ W^{1,N+\beta} $-정규성에 기반하여 국소 $ L^q $-노름 제어를 통한 리프스 변환 유계성 기준을 적용하기 위해.
• 에너지 추정에서의 저차항을 제어하기 위해 $ s = qN/(q+N) $ 인 $ W^{1,s} \hookrightarrow L^q $ 와 $ L^s \hookrightarrow W^{-1,q} $ 임bedding을 활용하기 위해.
• 절단 함수 기법과 반복적 스케일링을 사용하여 국소 $ L^q $-노름 추정 (A.10)을 유도함으로써 리프스 변환의 유계성과 따라서 최대 정규성을 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비스무스 계수를 가진 포아송 유한요소 스킴이 볼록 다면체 영역에서 이산 최대 $ L^p $ 정규성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 분산 계수가 $ C^2 $ 가 아니고 $ W^{1,N+\beta} $ 에만 속할 경우, 유한요소 해의 $ L^p $ 오차 추정이 여전히 최적인가?
• RQ3 계수의 $ W^{1,N+\beta} $-정규성과 영역의 볼록성 조건 하에서 이전의 오차 추정에서 로그 인자를 제거할 수 있는가?
• RQ4 계수의 $ W^{1,N+\beta} $-정규성과 볼록 다면체 영역 조건 하에서 리프스 변환 $ \nabla A^{-1/2} $ 가 $ L^q(\Omega) $ 에서 유계인가?
• RQ5 포아송 방정식의 유한요소 해에 대해 최적의 $ L^p $ 수렴을 보장하는 계수 $ a $ 의 날카운 정규성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 계수 $ A_h $ 에 의해 생성되는 이산 반군 $ \{E_h(t)\}_{t>0} $ 는 $ L^\infty \cap S_h $ 에서 해석적이며, 메esh 크기와 무관한 균일한 유계성을 가진다.
• 이산 최대 $ L^p $ 정규성 추정이 성립한다: $ \| \partial_t u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} + \| A_h u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C_{p,q} \| f \|_{L^p((0,T);L^q)} $, 모든 $ 1 < p,q < \infty $ 에 대해 로그 인자가 없이 성립한다.
• 최적의 $ L^p $ 오차 추정이 확보된다: $ \| P_h u - u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C_{p,q} ( \| P_h u^0 - u_h^0 \|_{L^q} + \| P_h u - R_h u \|_{L^p((0,T);L^q)} ) $, 계수 $ a $ 의 $ W^{1,N+\beta} $-정규성 조건 하에서.
• 계수 $ a \in W^{1,N+\beta}(\Omega) $ 이고 $ \Omega $ 가 볼록일 경우, 리프스 변환 $ \nabla A^{-1/2} $ 는 $ L^q(\Omega) $ 에서 $ 1 < q < \infty $ 에 대해 유계이며, 이는 최대 정규성에 필수적이다.
• 방정식 $ A u = 0 $ 의 해에 대해 국소 $ L^q $-노름 제어 (A.10) 이 반복적 스케일링과 $ W^{1,s} \hookrightarrow L^q $ 임베딩을 통해 확립되었으며, 이는 리프스 변환의 유계성을 확인한다.
• 결과는 $ N = 2,3 $ 에 대해 성립하며, 제시된 계수 정규성 조건 하에서 일반적인 볼록 다면체 영역으로 확장 가능하여 이전의 스무스성 제약 조건을 제거한다.