[논문 리뷰] Maximal inequalities and Riesz transform estimates on $L^p$ spaces for Schrödinger operators with nonnegative potentials

Pascal Auscher, Besma Ben Ali|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 02.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 15인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비음수 잠재력 $V$를 가진 슈뢰딩거 연산자 $-\Delta + V$에 대해 역 헬더 조건 하에서 날카운 $L^p$ 최대부등식과 리프스 변환 추정을 수립한다. 페퍼만-포잉 부등식을 정밀화하고 약한 해에 대한 역 헬더 추정을 활용하여, $V \in B_q$ 이면 $1 < p < 2(q + \varepsilon)$ 에서 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 가 성립함을 증명한다. 이는 이전 결과를 $L^2$ 경우를 초월하고 일반적인 $p$-범위로 확장한다.

ABSTRACT

We show various $L^p$ estimates for Schrödinger operators $-Δ+V$ on $\RR^n$ and their square roots. We assume reverse Hölder estimates on the potential, and improve some results of Shen \cite{Sh1}. Our main tools are improved Fefferman-Phong inequalities and reverse Hölder estimates for weak solutions of $-Δ+V$ and their gradients.

연구 동기 및 목표

• 비음수 잠재력 $V$를 가진 슈뢰딩거 연산자 $-\Delta + V$에 대한 $L^p$ 최대부등식을 수립하기 위해.
• $L^2$ 경우를 초월하여 일반적인 $L^p$ 공간으로 리프스 변환 추정을 확장하기 위해.
• 일반적인 $p$-범위에서 슈뢰딩거 연산자의 제곱근이 기울기와 잠재력 항을 $L^p$에서 제어함을 증명하기 위해.
• 역 헬더 조건 하에서 $H = -\Delta + V$ 및 $H^{1/2}$ 의 $L^p$-정의역을 특성화하기 위해.
• 모든 $B_q$ 조건 하에서 리프스 변환 및 관련 연산자의 $L^p$ 유계성을 통합하고 개선하기 위해.

제안 방법

• 해와 그 기울기의 점별 행동을 제어하기 위해 개선된 페퍼만-포잉 부등식을 활용한다.
• 해 $(-\Delta + V)u = 0$ 에 대한 약한 해와 그 기울기에 대한 역 헬더 추정을 적용한다.
• 복소 보간 기법을 사용하여 $L^2$ 에서의 $L^p$ 유계성을 다른 $p$-범위로 확장한다.
• $A_\infty$ 가중치 이론과 그 자체 향상 성질을 활용하여 $B_q$ 조건을 略로 더 큰 지수로 확장한다.
• 다이아딕 분해와 약한 유형 추정을 통해 $\nabla H^{-1}V^{1/2}$ 형식의 연산자의 $L^p$ 유계성에 대한 정리 5.1 을 적용한다.
• 열핵 추정과 파동 방정식의 유한 속도 전파 성질을 활용하여 로렌츠 공간 추정을 도출하고, 이를 보간하여 $L^p$ 추정으로 전환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $V$ 에 어떤 조건이면 $1 < p < \infty$ 에 대해 $L^p$ 최대부등식 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + Vu)\|_p$ 가 성립하는가?
• RQ2 $V \in B_q$ 이면 어떤 $p$ 에서 리프스 변환 추정 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 가 성립하는가?
• RQ3 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p \lesssim \|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p$ 가 성립하는 $p$ 의 범위를 $p=2$ 를 초월해 확장할 수 있는가?
• RQ4 역 헬더 조건 하에서 $V$ 에 대해 $(-\Delta + V)^{1/2}$ 의 정확한 $L^p$-정의역은 무엇인가?
• RQ5 $A_\infty$ 가중치와 역 헬더 조건의 자체 향상 성질이 리프스 변환의 $p$-유계성 범위에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $q > 1$ 이면 $V \in B_q$ 이고, $\varepsilon > 0$ 이 $V$ 의 $B_q$ 상수에 따라 의존할 때, $1 < p < 2(q + \varepsilon)$ 에서 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 가 성립한다.
• $V \in A_\infty = \bigcup_{q>1} B_q$ 이면, $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_{1,\infty} \lesssim \|\nabla u\|_1 + \|V^{1/2}u\|_1$ 과 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p \lesssim \|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p$ 가 $1 < p < 2$ 에서 성립한다.
• $V \in B_q$ 이고 $q \geq n/2$ 이면, $q < n$ 이면 $1 < p < q^* + \varepsilon$ 에서 $\|\nabla u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 가 성립하고, $q \geq n$ 이면 $1 < p < \infty$ 에서 성립한다. 여기서 $q^* = \frac{nq}{n-q}$ 이다.
• $V \in B_p$ 이면 $H = -\Delta + V$ 의 $L^p$-정의역은 $W^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n, V^p)$ 와 동치이며, 이 정의역의 노름은 $\|u\|_p + \|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p$ 와 동치이다.
• $p > 2$ 이면 $V \in B_{p/2}$, $p < 2$ 이면 $V \in A_\infty$ 라는 조건 하에서, $H^{1/2}$ 의 $L^p$-정의역은 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n, V^{p/2})$ 로 식별된다.
• $V \in B_q$ 이면 $2 < p < q^*$ 에서 연산자 $\nabla H^{-1}V^{1/2}$ 는 $L^p$ 에서 유계이며, $B_q$ 조건의 자체 향상으로 인해 이 범위는 $p < q^* + \varepsilon$ 로 확장된다.