[논문 리뷰] Maximal inequality of Stochastic convolution driven by compensated Poisson random measures in Banach spaces

Jiahui Zhu, Zdzisław Brzeźniak외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 보상된 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률적 컨볼루션에 대해, 노름의 q제곱이 제어 가능한 프레셰 도함수를 갖는 조건 하에서 최대 부등식을 수립한다. 핵심 결과는 캐들라그 수정형의 과정 최대값에 대한 모멘트 유계를 제공하며, 기존의 위너 기반 결과를 일반 바나흐 공간에서의 점프-확산 설정으로 확장한다. 이는 마팅게일 유형 p ∈ (1,2]인 일반 바나흐 공간에 대해 성립한다.

ABSTRACT

Let $(E, \| \cdot\|)$ be a Banach space such that, for some $q\geq 2$, the function $x\mapsto \|x\|^q$ is of $C^2$ class and its first and second Fréchet derivatives are bounded by some constant multiples of $(q-1)$-th power of the norm and $(q-2)$-th power of the norm and let $S$ be a $C_0$-semigroup of contraction type on $(E, \| \cdot\|)$. We consider the following stochastic convolution process \begin{align*} u(t)=\int_0^t\int_ZS(t-s)ξ(s,z)\, ilde{N}(\mathrm{d} s,\mathrm{d} z), \;\;\; t\geq 0, \end{align*} where $ ilde{N}$ is a compensated Poisson random measure on a measurable space $(Z,\mathcal{Z})$ and $ξ:[0,\infty) imesΩ imes Z ightarrow E$ is an $\mathbb{F}\otimes \mathcal{Z}$-predictable function. We prove that there exists a càdlàg modification a $ ilde{u}$ of the process $u$ which satisfies the following maximal inequality \begin{align*} \mathbb{E} \sup_{0\leq s\leq t} \| ilde{u}(s)\|^{q^\prime}\leq C\ \mathbb{E} \left(\int_0^t\int_Z \|ξ(s,z) \|^{p}\,N(\mathrm{d} s,\mathrm{d} z) ight)^{\frac{q^\prime}{p}}, \end{align*} for all $ q^\prime \geq q$ and $1

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서의 위너 기반 최대 부등식 결과를 점프-확산 과정으로 확장한다.
• 보상된 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률적 컨볼루션에 대해 캐들라그 수정형의 존재를 확립한다.
• 바나흐 공간과 셈그룹에 대한 부드러움 및 수축 조건 하에서 과정의 최대값에 대한 모멘트 유계를 유도한다.
• 이전의 힐베르트 공간 및 2-부드러운 바나흐 공간에서의 결과를 노름 부드러움이 제어되는 더 넓은 바나흐 공간 클래스로 일반화한다.
• 무한차원 설정에서 순수 점프 노이즈를 갖는 확률적 진화 방정식 분석을 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 보상된 포아송 랜덤 측도 $ \tilde{N} $에 대해 $ C_0 $-수축 세미군 $ S(t) $의 적분으로서 확률적 컨볼루션 과정을 정의한다.
• 바나흐 공간 $ E $ 는 $ \|x\|^q $ 가 $ C^2 $ 이며 프레셰 도함수가 $ (q-1) $-차 및 $ (q-2) $-차 노름의 거듭제곱으로 제어된다고 가정한다.
• 마팅게일 유형 $ p $, $ p \in (1,2] $ 인 바나흐 공간에서 보상된 포아송 측도에 대한 확률적 적분 이론을 적용한다.
• 노름의 부드러움을 활용하여 이토의 공식을 $ \|\tilde{u}(t)\|^{q'} $ 에 적용하고, $ q' \geq q $ 를 만족한다. 이를 통해 이차 변동성을 제어한다.
• 두 번째 최대 부등식을 유도하기 위해 두 번째 방법으로 도우브 유형 최대 부등식과 모멘트 추정을 사용하며, 결과적으로 $ \mathbb{E} \sup_{s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{q'} \leq C \, \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^p \, N(ds,dz) \right)^{q'/p} $ 를 유도한다.
• 또한 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ 인 경우, 조건 $ n \geq \lfloor \ln q / \ln p \rfloor $ 하에, 증가하는 순서 $ p^k $ 의 모멘트 합을 포함하는 두 번째 부등식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보상된 포아송 측도에 의해 구동되는 확률적 컨볼루션 과정이 캐들라그 수정형을 갖기 위한 바나흐 공간 $ E $ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 적분자의 적분 가능성에 대해, 그러한 컨볼루션 과정의 최대값에 대한 날카운 모멘트 유계는 무엇인가?
• RQ3 노름의 부드러움이 제어되는 일반 바나흐 공간으로의 점프 유형 노이즈에 대한 최대 부등식은 힐베르트 공간에서의 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 만약 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ 이면, 재귀적 모멘트 구조를 사용하여 최대 부등식을 어떻게 정밀화할 수 있는가?
• RQ5 노름 함수 $ \|x\|^q $ 의 부드러움과 기저 바나흐 공간의 마팅게일 유형 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 확률적 컨볼루션 과정 $ u(t) = \int_0^t \int_Z S(t-s)\xi(s,z) \, \tilde{N}(ds,dz) $ 에 대해 캐들라그 수정형 $ \tilde{u} $ 가 존재한다.
• 모든 $ q' \geq q $ 와 $ 1 < p \leq 2 $ 에 대해, $ \mathbb{E} \sup_{0 \leq s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{q'} \leq C \, \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^p \, N(ds,dz) \right)^{q'/p} $ 는 $ C = C(q,p) $ 가 $ \xi $ 와 무관하게 성립한다.
• 노름 $ \|x\|^q $ 에 대한 부드러움 조건을 만족하는 바나흐 공간 $ E $ 는 모든 $ p \in (1,2] $ 에 대해 마팅게일 유형 $ p $ 이며, 이는 확률적 적분의 잘 정의됨을 보장한다.
• 만약 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ 이고 $ n \geq \lfloor \ln q / \ln p \rfloor $ 이면, $ \mathbb{E} \sup_{s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{p^n} \leq C \sum_{k=1}^n \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^{p^k} \, \nu(dz) ds \right)^{p^{n-k}} $ 라는 부등식이 성립한다.
• 이 결과는 오른쪽 항이 유한하면 과정 $ u $ 가 캐들라그 형태를 갖는다는 것을 시사하며, 기존의 위너 케이스 결과를 확장한다.
• 증명은 $ \|x\|^q $ 의 첫 번째 도함수의 전역 리프시츠 연속성에 의존하며, 이는 $ \|x\|^q $ 의 프레셰 도함수에 대한 가정된 유계 조건에서 유도된다.