[논문 리뷰] Maximal representations of complex hyperbolic lattices in SU(m,n)

Maria Beatrice Pozzetti|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 하이퍼볼릭 격자에서 SU(1,p)에서 SU(m,n)로의 자리스키 조밀 최대 표현이 존재하지 않음을 증명한다. 이는 등방성 부분공간의 기하적 강성과 튜브형 도메인을 이용한 것이다. 핵심 결과는 이러한 표현이 반드시 SU(1,p)를 통해 인코딩되어야 하며, 이는 비단위성 서명 군에서 자리스키 조밀 이미지에 대한 초강성(super-rigidity)을 보여준다.

ABSTRACT

Let $Γ$ denote a lattice in $SU(1,p)$, with $p$ greater than 1. We show that there exists no Zariski dense maximal representation with target $SU(m,n)$ if $n>m>1$. The proof is geometric and is based on the study of the rigidity properties of the geometry whose points are isotropic $m$-subspaces of a complex vector space $V$ endowed with a Hermitian metric $h$ of signature $(m,n)$ and whose lines correspond to the $2m$ dimensional subspaces of $V$ on which the restriction of $h$ has signature $(m,m)$.

연구 동기 및 목표

• 비단위성 서명 군에서 SU(m,n)로의 복소 하이퍼볼릭 격자의 자리스키 조밀 최대 표현의 존재성을 조사하기 위해.
• 그러한 표현이 환경군 SU(1,p)로 확장될 수 있는지 확인하여 초강성에 대한 추측을 다루기 위해.
• 기하적 및 대수적 제약 조건을 이용하여 SU(m,n)로의 최대 표현의 자리스키 폐쇄의 구조를 분류하기 위해.
• 비퇴화 조건 하에서 자리스키 폐쇄의 튜브형 성분이 차단됨을 보여주어 구조 정리에 이를 이르기 위해.

제안 방법

• 헤르미트 메트릭이 서명 (m,n)인 복소 벡터 공간에서 등방성 m-부분공간과 (m,m)-서명 부분공간의 기하학을 분석한다.
• 유계 코hom올로지와 토레도 불변량의 강성 결과를 적용하여 최대 표현을 특성화한다.
• 가장자리 매립과 해석적 등변 사상의 개념을 사용하여 가능한 이미지 군을 제약한다.
• 헤르미트 리 군 간 최대 표현의 분류와 중심자군의 구조를 활용한다.
• 정리 2.4와 정리 2.5를 적용하여 자리스키 폐쇄를 단순 및 컴acts 성분으로 분해한다.
• 선형 표현에 비퇴화 조건을 도입하여 가상의 SU(1,1) 성분을 배제하고 SU(1,p)의 구조를 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1 < m < n일 때, SU(1,p)의 격자에서 SU(m,n)로의 자리스키 조밀 최대 표현이 존재하는가?
• RQ2 그러한 표현은 환경군 SU(1,p)의 표현으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 최대 표현의 자리스키 폐쇄의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 비퇴화 조건 하에서 자리스키 폐쇄의 튜브형 성분이 가능한가?
• RQ5 이미지가 적절한 부분군에 포함되지 않을 경우, 표준 매립이 유일한 가능한 최대 표현인가?

주요 결과

• 1 < m < n일 때, SU(1,p)의 격자에서 SU(m,n)로의 자리스키 조밀 최대 표현은 존재하지 않는다.
• 어떤 자리스키 조밀 최대 표현이라도 반드시 SU(1,p)의 표현을 통해 인코딩되어야 하며, 이는 이 경우 초강성(super-rigidity)을 증명한다.
• 이미지의 자리스키 폐쇄는 SU(1,p) × Lt × K로 분해되며, 여기서 Lt는 SU(1,1) 성분이 없는 튜브형 허미트 리 군이고 K는 컴팩트하다.
• 자리스키 폐쇄의 포함관계는 SU(1,p)^{m-k} × SU(k,k) × K로의 대각 매립으로 실현되며, SU(k,k)로의 가장자리 매립이 포함된다.
• 자리스키 폐쇄에 비자명한 튜브형 성분이 포함되어 있다면, 표준 표현은 국소적으로 강성 없음을 뜻하며, 이는 대각 매립의 구조와 모순된다.
• 일반화된 토레도 불변량은 연결 성분에서 일정하며, 이는 튜브형 성분이 자취일 경우 근처 표현들이 표준 표현과 동치여야 함을 의미한다.