[논문 리뷰] Maximally coherent states

Zhaofang Bai, Shuanping Du|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 24.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 상대 엔트로피 측도에 따른 최대 얽힘 상태(MCS)를 특성화하며, 혼합 상태인 MCS가 존재하지 않음을 증명하고, 모든 순수 MCS가 대각 단위행렬을 통한 유니타리 변환으로 균일 초위상 상태 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ 와 유니타리 동치임을 보여준다. 이 논문은 이중 부분계에서 차원이 동일할 경우, 얽힘의 초과가치 성질이 등호로 성립하는 것은 오직 부분계가 곱 상태일 때뿐임을 입증하며, MCS를 유지하는 비입자적 작용을 대각 단위행렬의 순열에 의한 유니타리 코너징으로 규명한다.

ABSTRACT

Relative entropy measure quantifying coherence, a key property of quantum system, is proposed recently. In this note, we investigate the maximally coherent state (MCS) with respect to relative entropy measure. %(denoted by $\mathcal C_{RE}$)%. We show that there are not mixed maximally coherent states and give a complete characterization of pure maximally coherent states. Based on this characterization, for a bipartite MCS with $d_A=d_B$, we obtain that the super-additivity equality of relative entropy measure holds if and only if the state is a product state of its reduced states. From the viewpoint of resource in quantum information, we find there exists a MCS with maximal entanglement. Originated from the behaviour of quantum correlation under the influence of noisy operations, we further classify the incoherent operations which send maximally coherent states to themselves.

연구 동기 및 목표

• 상대 엔트로피 측도에 따른 최대 얽힘 상태(MCS)의 구조적 형태를 규명하는 것.
• 이중 상태에서 상대 엔트로피 얽힘의 초과가치 성질이 등호로 성립하는 것은 오직 상태가 그 감소 상태의 곱일 때뿐이라는 열린 문제를 해결하는 것.
• 양자 자원 이론 관점에서 최대 얽힘 상태를 유지하는 비입자적 작용을 규명하는 것.
• 한 개의 양자 상태에서 최대 얽힘과 최대 얽힘을 동시에 갖는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 주로 상대 엔트로피 얽힘을 측도로 사용하며, 이는 $\mathcal{C}_{RE}(\rho) = S(\Delta(\rho)) - S(\rho)$ 로 정의되며, 여기서 $\Delta(\rho)$ 는 $\rho$ 의 비입자 기저에서의 대각 부분이다.
• 얽힘 측도의 축약 조건을 적용하여 최대 얽힘을 달성하는 상태에 대한 구조적 제약 조건을 도출한다.
• 유니타리 코너징과 대각 단위행렬 변환을 활용하여 순수 MCS를 $U|\psi\rangle\langle\psi|U^\dagger$ 형태로 분류한다. 여기서 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ 이다.
• 이중 시스템을 분석하기 위해 밀도 행렬을 분해하고 감소 상태에서의 얽힘을 평가하여 초과가치 성질을 시험한다.
• 행렬 분석과 순열 불변성을 활용하여 MCS를 유지하는 비입자적 작용을 특성화하며, 그것이 오직 대각 단위행렬의 순열에 의한 유니타리 코너징이어야 한다는 것을 보여준다.
• 서로 다른 차원을 가진 부분계에 대해 반례를 구성하여, 초과가치 등호 성립에 있어 동일한 차원 조건이 필수적임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대 엔트로피 측도에 따라 혼합 최대 얽힘 상태가 존재하는가?
• RQ2 이중 상태에서 상대 엔트로피 얽힘의 초과가치 성질이 등호로 성립하는 것은 오직 상태가 감소 상태의 곱일 때뿐인가?
• RQ3 양자 상태가 동시에 최대 얽힘과 최대 얽힘을 가질 수 있는가?
• RQ4 어떤 비입자적 작용이 최대 얽힘 상태의 집합을 유지하는가?
• RQ5 모든 순수 최대 얽힘 상태가 대각 단위행렬에 의한 유니타리 변환으로 균일 초위상 상태와 유니타리 동치인가?

주요 결과

• 상대 엔트로피 측도에 따라 혼합 최대 얽힘 상태는 존재하지 않는다.
• 모든 순수 최대 얽힘 상태는 $U|\psi\rangle\langle\psi|U^\dagger$ 형태이며, 여기서 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ 이고 $U$ 는 대각 단위행렬이다.
• 차원이 동일한 $d_A = d_B$ 인 이중 최대 얽힘 상태에 대해, 초과가치 등호 $\mathcal{C}_{RE}(\rho_{AB}) = \mathcal{C}_{RE}(\rho_A) + \mathcal{C}_{RE}(\rho_B)$ 가 성립하는 것은 오직 $\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B$ 일 때뿐이다.
• 만약 $d_A \neq d_B$ 이면 초과가치 등호는 $\rho_{AB}$ 가 곱 상태임을 의미하지 않으며, 반례를 통해 이를 입증한다.
• 최대 얽힘과 최대 얽힘을 동시에 갖는 양자 상태가 존재함을 보여주며, 최대 얽힘과 최대 얽힘의 공존을 입증한다.
• 비입자적 작용이 최대 얽힘 상태를 유지하는 것은 오직 $\Phi(\rho) = U\rho U^\dagger$ 형태이며, 여기서 $U$ 는 대각 단위행렬의 순열인 경우뿐이다.