[논문 리뷰] Maximising common fixtures in a round robin tournament with two divisions

Wayne Burrows, Christopher Tuffley|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 23.

Scheduling and Timetabling Solutions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라운드 로빈 대회 구조 내에서 두 개의 리그에 속한 구단 간 동시 홈·어웨이 경기를 최대화하기 위한 그래프 이론적 구성 방법을 제안한다. $K_{2n}$의 비피라미드형 one-factorisation을 사용하여 $n \geq 2$일 때 이론적 최대치인 $2n^2 - 3n + 4$개의 공통 경기를 달성하며, 리그 간에 일관된 홈/어웨이 스케줄링이 가능하다는 것을 추가로 보여준다.

ABSTRACT

We describe a round robin scheduling problem for a competition played in two divisions, motivated by a scheduling problem brought to the second author by a local sports organisation. The first division has teams from 2n clubs, and is played in a double round robin in which the draw for the second round robin is identical to the first. The second division has teams from two additional clubs, and is played as a single round robin during the first 2n+1 rounds of the first division. We will say that two clubs have a **common fixture** if their teams in division one and two are scheduled to play each other in the same round, and show that for n>1 the maximum possible number of common fixtures is 2n^2 - 3n + 4. Our construction of draws achieving this maximum is based on a bipyramidal one-factorisation of K_{2n}, which represents the draw in division one. Moreover, if we additionally require the home and away status of common fixtures to be the same in both divisions, we show that the draw can be chosen to be balanced in all three round robins.

연구 동기 및 목표

• 라운드 로빈 대회 구조에서, 첫 번째 리그는 더블 라운드 로빈을, 두 번째 리그는 추가로 두 명의 구단을 포함하는 상황에서 동일한 두 구단 간 경기(같은 라운드에서 열리는 홈·어웨이 경기)의 수를 최대화하는 것.
• 이론적 상한선에 도달하는 그래프 이론 기반의 구조적 구성 방법을 개발하는 것 (모든 $n \geq 2$에 대해).
• 공통 경기의 홈 및 어웨이 상태가 양 리그 간에 일관되게 유지되도록 하여 균형 잡힌 스케줄링을 가능하게 하는 것.
• 작은 경우(예: $n=2$)를 초월해 대칭군 작용과 간선 집합의 궤도 분해를 통해 일반화된 해법을 도출하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 리그의 조추첨을 완전 그래프 $K_{2n}$의 one-factorisation으로 모델링하며, $G = \mathbb{Z}_{2n-2} \rtimes \mathbb{Z}_2$에 의한 군 작용 기반의 비피라미드형 구조를 사용한다.
• 두 번째 리그의 조추첨을 $K_{2n+2}$의 one-factorisation으로 구성하며, 첫 번째 리그를 궤도 크기 $2n-2$와 크기 6인 특별 궤도 $E^G$를 사용해 확장한다.
• 모든 간선이 분할되도록 보장하기 위해, one-factor들의 합집합이 간선 집합을 분할하는지 확인함으로써 두 그래프에서 간선의 이격성과 커버리지 확보.
• 라운드 간 중복 간선을 식별함으로써 공통 경기 수를 세며, $\sigma^{r-1}$에 의한 이동 대칭성을 활용한다.
• 각 정점의 진입차수와 출발차수의 차이가 1 이내가 되도록 $K_{2n+2}$의 간선을 방향화함으로써 균형 잡힌 홈/어웨이 스케줄링을 달성하며, 공통 경기의 방향성은 유지한다.
• 마지막 두 라운드에서 발생하는 균형 오차를 보정하기 위해 $K_{2n}$의 궤도 $O_1$에 속한 간선의 방향을 뒤집음으로써 균형을 유지하면서도 공통 경기의 홈/어웨이 상태를 $K_{2n+2}$와 일치시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2n개의 구단이 있는 첫 번째 리그와 두 명의 추가 구단이 있는 두 번째 리그를 가진 이중 리그 라운드 로빈 대회에서, 가능한 공통 경기의 최대 수는 얼마인가?
• RQ2 이 최대치는 그래프 one-factorisation 기반의 대칭적이고 체계적인 구성 방법을 통해 달성될 수 있는가?
• RQ3 공통 경기의 홈 및 어웨이 지정을 일관되게 유지하면서도 두 리그의 스케줄링이 균형을 이루도록 할 수 있는가?
• RQ4 특히 군 작용에 의한 궤도를 사용하는 one-factorisation의 구조가 최적의 해를 달성하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 2$에 대해 공통 경기의 최대 수는 $2n^2 - 3n + 4$이며, 이는 구조적 상한선과 일치하는 구성에 의해 엄밀히 증명된다.
• 이 구성은 $K_{2n}$의 비피라미드형 one-factorisation을 기반으로 하며, $G$-작용에 따른 궤도와 간선 집합을 사용해 $K_{2n+2}$로 확장된다.
• $n \geq 3$일 경우, 첫 번째 리그의 더블 라운드 로빈, 두 번째 리그의 싱글 라운드 로빈, 그리고 통합된 구조의 세 라운드 로빈 모두에서 홈·어웨이 경기 수가 균형을 이루도록 조정할 수 있다.
• 공통 경기는 모든 라운드에 존재한다: 첫 $2n-2$라운드는 각각 $n-1$개, 라운드 $2n-1$은 $n$개, 라운드 $2n$과 $2n+1$은 각각 1개씩으로 총합이 제시된 최대치에 도달한다.
• 궤도 크기 불일치로 인해 $n=2$일 경우 구성이 실패하므로 별도의 처리가 필요하다.
• 마지막 두 라운드의 방향성 균형 오차는 $K_{2n}$의 궤도 $O_1$에 속한 간선의 방향을 뒤집음으로써 보정되며, 이는 균형을 유지하면서도 공통 경기의 정렬 상태에 영향을 주지 않는다.