[논문 리뷰] Maximizing Hamming Distance in Contraction of Permutation Arrays.

Sergey Bereg, Zevi Miller외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 13인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 최소 해밍 거리가 높은 순열 배열을 구성하기 위해 날카로운 전이성 순열군—특히 AGL(1,q)과 PGL(2,q)—에 수축 작용을 도입한다. 특히 q ≡ 1 (mod 3)인 경우에 대해 M(n,d), 즉 최소 해밍 거리 d를 갖는 순열 배열의 최대 크기의 새로운 하한을 확립하며, 이는 이전 결과를 향상시키고 이전 연구에서 해결되지 않은 열린 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

A permutation array $A$ is a set of permutations on a finite set $\Omega$, say of size $n$. Given distinct permutations $\pi, \sigma\in \Omega$, we let $hd(\pi, \sigma) = |\{ x\in \Omega: \pi(x) e \sigma(x) \}|$, called the Hamming distance between $\pi$ and $\sigma$. Now let $hd(A) =$ min$\{ hd(\pi, \sigma): \pi, \sigma \in A \}$. For positive integers $n$ and $d$ with $d\le n$, we let $M(n,d)$ be the maximum number of permutations in any array $A$ satisfying $hd(A) \geq d$. There is an extensive literature on the function $M(n,d)$, motivated in part by suggested applications to error correcting codes for message transmission over power lines. A basic fact is that if a permutation group $G$ is sharply $k$-transitive on a set of size $n\geq k$, then $M(n,n-k+1) = |G|$. Motivated by this we consider the permutation groups $AGL(1,q)$ and $PGL(2,q)$ acting sharply $2$-transitively on $GF(q)$ and sharply $3$-transitively on $GF(q)\cup \{\infty\}$ respectively. Applying a contraction operation to these groups, we obtain the following new lower bounds for prime powers $q$ satisfying $q\equiv 1$ (mod $3$). 1. $M(q-1,q-3)\geq (q^{2} - 1)/2$ for $q$ odd, $q\geq 7$, 2. $M(q-1,q-3)\geq (q-1)(q+2)/3$ for $q$ even, $q\geq 8$, 3. $M(q,q-3)\geq Kq^{2}\log q$ for some constant $K$ if $q$ is odd, $q\geq 13$. These results resolve a case left open in a previous paper \cite{BLS}, where it was shown that $M(q-1, q-3) \geq q^{2} - q$ and $M(q,q-3) \geq q^{3} - q$ for all prime powers $q$ such that $q ot \equiv 1$ (mod $3$). We also obtain lower bounds for $M(n,d)$ for a finite number of exceptional pairs $n,d$, by applying this contraction operation to the sharply $4$ and $5$-transitive Mathieu groups.

연구 동기 및 목표

• 최소 해밍 거리 d를 갖는 순열 배열의 최대 크기 M(n,d)에 대한 하한을 향상시키기 위해.
• 이전에 완전하지 못했던 하한이 존재했던 문헌의 열린 케이스—특히 q ≡ 1 (mod 3)인 경우—를 해결하기 위해.
• AGL(1,q) 및 PGL(2,q)와 같은 날카로운 전이성 순열군에 수축 작용을 적용하여 고해밍 거리의 배열을 생성하기 위해.
• 날카로운 4- 및 5-전이성 마티유 군을 사용하여 특수 케이스로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• AGL(1,q)와 같은 날카로운 2-전이성 군과 PGL(2,q)와 같은 날카로운 3-전이성 군에 수축 작용을 적용하여 집합 크기를 줄이되, 해밍 거리는 유지하거나 증가시키기 위해.
• AGL(1,q) 및 PGL(2,q)의 군 이론적 성질을 활용하여 수축 이후 M(n,d)에 대한 하한을 유도하기 위해.
• 날카로운 k-전이성 군이 M(n,n−k+1) = |G|를 만족한다는 사실을 활용하여 원하는 거리 성질을 갖는 배열의 구축을 안내하기 위해.
• 수축 후 생성된 배열을 분석하여 최소 해밍 거리를 확인하고, q에 대한 식으로 M(n,d)에 대한 명시적 하한을 도출하기 위해.
• 특수 케이스를 처리하기 위해 날카로운 4- 및 5-전이성 마티유 군에 수축 방법을 적용하기 위해.
• 모듈로 산술 제약 조건(예: q ≡ 1 mod 3)을 사용하여 유도된 하한의 타당성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q ≡ 1 (mod 3)인 경우, 특히 n = q−1 또는 n = q일 때 d = q−3 및 d = q−3에 대해 M(n,d)의 개선된 하한은 무엇인가?
• RQ2 날카로운 전이성 순열군에 대한 수축 작용을 체계적으로 적용하여 고해밍 거리의 순열 배열을 생성할 수 있는가?
• RQ3 수축 방법이 이전에 열려있던 문헌의 M(n,d)에 대한 케이스—특히 q ≡ 1 (mod 3)인 경우—를 해결할 수 있는가?
• RQ4 소수 거듭제곱 q에 대해 최소 해밍 거리 d = q−3인 순열 배열의 도달 가능한 크기는 무엇인가?
• RQ5 마티유 군은 수축을 통해 고해밍 거리의 순열 배열을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 홀수 소수 거듭제곱 q ≥ 7 이며 q ≡ 1 (mod 3)인 경우, M(q−1, q−3) ≥ (q² − 1)/2.
• 짝수 소수 거듭제곱 q ≥ 8 이며 q ≡ 1 (mod 3)인 경우, M(q−1, q−3) ≥ (q−1)(q+2)/3.
• 홀수 소수 거듭제곱 q ≥ 13 이며 q ≡ 1 (mod 3)인 경우, M(q, q−3) ≥ Kq² log q (일부 상수 K에 대해).
• 이전에 알려진 M(q−1, q−3) ≥ q² − q 와 M(q, q−3) ≥ q³ − q 의 하한보다 수축 방법이 향상된 결과를 도출하며, 이는 q ≡ 1 (mod 3)가 아닐 경우에만 알려져 있었다.
• 논문은 [BLS]에서 열려있던 케이스를 해결하여 q ≡ 1 (mod 3)인 경우에 대한 날카로운 하한을 제공한다.
• 마티유 군에 수축 작용을 적용하면 날카로운 4- 및 5-전이성 작용의 경우 M(n,d)에 대해 유한한 특수 하한을 도출할 수 있다.