[논문 리뷰] Maximizing measures for partially hyperbolic systems with compact center leaves

Federico Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트한 일차원 중심 리프를 가진 3차원 다양체 위의 접근 가능하고, 역학적으로 일관된, 부분적으로 초구형 미분형사에 대해 이분법을 확립한다: 중심 리아풀로프 지수 0을 가진 유일한 엔트로피 최대화 측도가 존재하거나, 유한한 수(1개 이상)의 에르고딕 최대화 측도가 존재하며, 각 측도는 비영인 중심 리아풀로프 지수를 가진다. 두 번째 경우는 $C^1$ 위상에서 일반적으로 성립한다.

ABSTRACT

We obtain the following dichotomy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-dimensional manifolds having compact center leaves: either there is a unique entropy maximizing measure, this measure has the Bernoulli property and its center Lyapunov exponent is 0 or, there is a finite number of entropy maximizing measures, all of them with nonzero center Lyapunov exponent (at least one with negative exponent and one with positive exponent), that are finite extensions of a Bernoulli system. In the first case of the dichotomy we obtain that the system is topologically conjugated to a rotation extension of a hyperbolic system. This implies that the second case of the dichotomy holds for an open and dense set of diffeomorphisms in the hypothesis of our result. As a consequence we obtain an open set of topologically mixing diffeomorphisms having more than one entropy maximizing measure.

연구 동기 및 목표

• 접근 가능하고, 역학적으로 일관된, 컴팩트한 일차원 중심 리프를 가진 3차원 다변체 위의 부분적으로 초구형 미분형사에 대해 엔트로피 최대화 측도의 구조와 수를 규명하는 것.
• 이러한 시스템이 유일한 최대화 측도를 갖는지 여부를 규명하고, 그들의 역학적 성질을 특성화하는 것.
• 각 경우의 일반성($C^1$ 위상에서)과 중심 지수 값이 0일 때의 위상 동형 구조를 조사하는 것.
• 특히 베르누이 성질과 중심 분할의 절대 연속성에 관해 보존 역학에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 중심 리프의 컴팩트성과 일차원성을 이용해 시스템을 균일하게 초구형인 기저 위의 비선형 코실로 모델링하는 것.
• 아비라와 비아나의 불변성 원리를 적용하여 불변 측도의 리아풀로프 지수를 분석하는 것.
• 아비라, 비아나, 윌킨슨의 영감을 받은 위상 동형 기법을 사용하여 중심 지수가 0이면 초구형 시스템의 로테이션 확장과 위상 동형임을 보이는 것.
• 접근 가능성과 역학적 일관성으로 중심 분할의 잘 정의된 전역적 구조를 확보하는 것.
• 변분 원리와 엔트로피 정규성에 기반해 최대화 측도의 에르고딕 및 메트릭 성질을 분석하는 것.
• 뉴하우스와 영의 거의 동형과 내재적 에르고딕성 결과를 활용해 유일한 최대화 측도를 가진 시스템을 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접근 가능하고, 역학적으로 일관되며, 컴팩트한 중심 리프를 가진 3차원 다변체 위의 부분적으로 초구형 미분형사는 항상 유일한 엔트로피 최대화 측도를 갖는가?
• RQ2 유일하지 않다면, 이러한 시스템에서 에르고딕 최대화 측도의 일반적인 수와 구조는 무엇인가?
• RQ3 엔트로피 최대화 측도가 베르누이일 조건은 무엇이며, 언제 유한한 베르누이 시스템의 확장이 되는가?
• RQ4 중심 리아풀로프 지수가 최대화 측도의 유일성 또는 다수성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 보존적 경우에서, 중심 지수가 0이면서 중심 분할이 절대 연속적이지 않다면, 매끄러운 불변 측도가 여전히 베르누이일 수 없는가?

주요 결과

• 접근 가능하고, 역학적으로 일관되며, 컴팩트한 일차원 중심 리프를 가진 3차원 다변체 위의 부분적으로 초구형 미분형사에 대해, 중심 리아풀로프 지수가 0인 유일한 엔트로피 최대화 측도가 존재하거나, 비영인 중심 리아풀로프 지수를 가진 유한한 수(1개 이상)의 에르고딕 최대화 측도가 존재한다.
• 유일한 최대화 측도가 중심 지수 0을 가진 경우, 시스템은 초구형 시스템의 로테이션 확장과 위상 동형이다.
• 다수의 에르고딕 최대화 측도를 가진 미분형사의 집합은 이러한 시스템의 클래스 내에서 $C^1$ 위상에서 열려 있고 밀도가 있다.
• 유일한 최대화 측도가 중심 지수 0을 가진 경우, 이는 베르누이 이동과 동형이다.
• 다수의 최대화 측도가 존재하는 경우, 각 측도는 유한한 베르누이 이동의 확장이며, 적어도 하나는 양의, 하나는 음의 중심 리아풀로프 지수를 가진다.
• 보존적 경우에서 중심 지수가 0이고 중심 분할이 절대 연속이라면, 시스템은 매끄럽게 베르누이 시스템과 동형이다; 그렇지 않다면 측도가 베르누이일 수 없으며, 이는 3차원에서 열린 문제로 남아 있다.