[논문 리뷰] Maximizing the Growth Rate under Risk Constraints

Traian A. Pirvu, Gordan Žitković|ArXiv.org|2007. 06. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 계수를 가진 불완전한 Itô-과정 금융 시장에서 VaR, TVaR, LEL 등의 다양한 리스크 제약 조건 하에 장기 포트폴리오 성장률을 최대화하는 문제를 해결한다. 최적 전략은 제약이 없는 Merton 포트폴리오를 상태에 따라 균일하게 축소하는 방식으로 나타나며, 이는 리스크 제약이 있는 투자자가 현재 시장 조건에 따라 국소적으로 CRRA 투자자처럼 행동함을 의미한다.

ABSTRACT

We investigate the ergodic problem of growth-rate maximization under a class of risk constraints in the context of incomplete, Itô-process models of financial markets with random ergodic coefficients. Including {\em value-at-risk} (VaR), {\em tail-value-at-risk} (TVaR), and {\em limited expected loss} (LEL), these constraints can be both wealth-dependent(relative) and wealth-independent (absolute). The optimal policy is shown to exist in an appropriate admissibility class, and can be obtained explicitly by uniform, state-dependent scaling down of the unconstrained (Merton) optimal portfolio. This implies that the risk-constrained wealth-growth optimizer locally behaves like a CRRA-investor, with the relative risk-aversion coefficient depending on the current values of the market coefficients.

연구 동기 및 목표

• VaR 및 TVaR와 같은 비볼록적인 현실적인 리스크 제약 조건 하에서 연속시간 포트폴리오 최적화의 격차를 해소하기 위해.
• 광범위한 리스크 제약 조건 클래스 하에서 최적의 성장률을 극대화하는 포트폴리오의 존재성과 명시적 특성화를 확립하기 위해.
• 리스크 제약이 있는 최적 전략이 제약이 없는 Merton 포트폴리오의 균일한 스케일링된 형태임을 보여주기 위해.
• 동적이고 상태에 따라 변하는 방식으로 리스크 제약이 있는 성장 최적화와 CRRA 유틸리티 행동 간의 관계를 체계화하기 위해.
• 불완전한 Itô-과정 모델에서 리스크 제약 조건 하의 에르고딕 제어를 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 랜덤이고 시간에 따라 변하는 시장 계수를 가진 상태에서, 자산가치에 대한 리스크 제약 조건을 포함한 에르고딕 확률적 제어 문제로 문제를 재구성한다.
• 포트폴리오의 기대 수익률과 변동성에 대한 가측 함수를 통해 리스크 제약 조건을 정의하며, VaR, TVaR, LEL를 특수한 경우로 포함한다.
• 제약 조건 집합을 시간에 따라 변하는 방식으로 정의한 제약 집합 위에 제약이 없는 Merton 포트폴리오의 사영으로서 최적 전략을 구성한다.
• Itô의 보조정리와 세미마르팅게일 분해를 사용하여, 임의의 허용 전략에 대한 자산가치 과정과 제약 전략에 대한 자산가치 과정의 비율이 수퍼마르팅게일임을 증명한다.
• Fatou의 보조정리를 적용하여 수퍼마르팅게일 성질을 확립하고 제약 전략의 최적성을 도출한다.
• 최적 정책이 제약이 없는 Merton 포트폴리오의 균일한 상태에 따라 변하는 스케일링임을 보이며, 스케일링 요소는 현재 시장 계수와 리스크 제약 조건에 따라 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VaR나 TVaR와 같은 동적이고 상태에 따라 변하는 리스크 제약 조건이 존재할 때 장기 성장률을 어떻게 극대화할 수 있는가?
• RQ2 불완전한 Itô-과정 시장에서 이러한 리스크 제약 조건 하에 최적 투자 정책의 구조적 형태는 어떠한가?
• RQ3 최적의 리스크 제약이 있는 전략은 CRRA 유틸리티 행동 성질을 유지하는가? 만약 그렇다면, 리스크 회피 계수는 어떻게 변하는가?
• RQ4 최적 전략은 제약이 없는 Merton 포트폴리오의 단순한 변환을 통해 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ5 이러한 제약 조건 하의 성장 극대화 전략의 존재성과 최적성을 보장하는 수학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 리스크 제약 조건 하의 최적 포트폴리오는 제약이 없는 Merton 포트폴리오의 균일하게 축소된 형태이며, 스케일링 요소는 현재 시장 계수와 리스크 제약 조건에 따라 결정된다.
• 최적 전략은 존재하며, 허용성 클래스에 속하여 안정적인 자산가치 과정과 폭발하지 않는 성장률을 보장한다.
• 임의의 정지 시간에서 기대 로그 자산가치의 관점에서 최적 전략 하의 자산가치 과정은 다른 모든 허용 전략의 자산가치 과정을 지배한다.
• 제약 조건이 있는 최적 전략은 국소적으로 CRRA 투자자처럼 행동하며, 상대적 리스크 회피 계수는 현재 시장 계수와 리스크 제약 조건의 값에 의해 결정된다.
• Itô의 보조정리와 제약 집합의 기하학적 성질을 활용하여 자산가치 과정의 비율에 대한 수퍼마르팅게일 추론을 통해 최적성이 증명된다.
• 이 프레임워크는 VaR, TVaR, LEL를 포함한 광범위한 리스크 측도에 적용 가능하며, 절대적 및 상대적(자산가치에 의존하는) 공식화 모두에 적용 가능하다.