[논문 리뷰] Maximum Flow and Minimum-Cost Flow in Almost-Linear Time

Li Chen, Rasmus Kyng외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 01.

Markov Chains and Monte Carlo Methods인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다항식으로 유계된 용량, 비용, 수요를 가진 방향성 그래프에서 정확한 최대 유량 및 최소비용 유량을 계산하기 위한 처음으로 거의 선형 시간 알고리즘을 제시한다. 약간의 비율을 가진 무방향 최소 비율 순환을 평균적으로 $m^{o(1)}$ 시간 내에 유지하는 새로운 동적 그래프 데이터 구조를 활용함으로써, 알고리즘은 총 $m^{1+o(1)}$ 실행 시간을 달성하며, $p$-노름 유량, 엔트로피 정규화 최적 운반 문제, 행렬 스케일링을 포함한 일반적인 볼록 목표 함수에 대한 고정밀도 해를 확장한다.

ABSTRACT

We give an algorithm that computes exact maximum flows and minimum-cost flows on directed graphs with $m$ edges and polynomially bounded integral demands, costs, and capacities in $m^{1+o(1)}$ time. Our algorithm builds the flow through a sequence of $m^{1+o(1)}$ approximate undirected minimum-ratio cycles, each of which is computed and processed in amortized $m^{o(1)}$ time using a new dynamic graph data structure. Our framework extends to algorithms running in $m^{1+o(1)}$ time for computing flows that minimize general edge-separable convex functions to high accuracy. This gives almost-linear time algorithms for several problems including entropy-regularized optimal transport, matrix scaling, $p$-norm flows, and $p$-norm isotonic regression on arbitrary directed acyclic graphs.

연구 동기 및 목표

• 다항식으로 유계된 매개변수를 가진 방향성 그래프에서 정확한 최대 유량 및 최소비용 유량을 위한 결정론적 거의 선형 시간 알고리즘을 설계하는 것.
• 일반적인 간선 분리 가능한 볼록 목표 함수, 특히 $p$-노름 유량 및 엔트로피 정규화 최적 운반 문제에 대한 고정밀도 해를 위한 알고리즘의 확장.
• 내부점 방법과 효율적인 순환 탐지 및 업데이트를 지원하는 동적 그래프 데이터 구조를 조합하여 이전 방법의 한계를 극복하는 것.
• 다양한 유량 문제에 대해 $m^{1+o(1)}$ 시간 복잡도를 달성함으로써, 수십 년간의 기존 상한을 크게 향상시키는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 각각 동적 그래프 데이터 구조를 통해 유지되는 $m^{1+o(1)}$개의 약간의 비율을 가진 무방향 최소 비율 순환을 통해 유량을 계산한다.
• 새로운 동적 그래프 데이터 구조는 낮은 스트레치 분해와 스parse화된 코어 그래프를 유지하며, 각 순환 계산에 대해 평균적으로 $m^{o(1)}$ 시간을 보장한다.
• 프레임워크는 자기 공명 볼록 장벽을 사용하는 잠재력 감소 내부점 방법(IPMs)을 사용하여 방향성 유량 문제를 무방향 문제로 환원한다.
• 재건 게임 전략은 감소하는 그래프에서 스팸너와 임bedding을 동적으로 유지함으로써 안정성과 효율성을 보장한다.
• 매개변수의 제약 조건 하에서 장벽 함수의 헤시안 항이 준다항식적으로 유계됨을 확인함으로써 일반적인 볼록 목표 함수를 지원한다.
• 트리-체인 구조와 경로 임베딩을 통해 순환 품질과 라우팅 한계를 유지함으로써, 각 순환은 해를 일정 요인만큼 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식으로 유계된 매개변수를 가진 방향성 그래프에서 정확한 최대 유량 및 최소비용 유량를 $m^{1+o(1)}$ 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 이 프레임워크는 $p$-노름 유량 및 엔트로피 정규화 최적 운반 문제와 같은 일반적인 볼록 목표 함수에 대해 고정밀도 해를 확장할 수 있는가?
• RQ3 간선 삭제 및 업데이트 하에서 동적 그래프 데이터 구조가 약간의 최소 비율 순환을 평균적으로 $m^{o(1)}$ 시간 내에 유지할 수 있는가?
• RQ4 내부점 방법은 스parse화되고 감소하는 그래프 구조를 효율적으로 활용하여 유량 문제에 대해 작동하도록 어떻게 조정할 수 있는가?
• RQ5 흐름 공식화를 통해 매트릭스 스케일링 및 최적 운반 문제에 대해 거의 선형 시간 복잡도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 다항식으로 유계된 용량, 비용, 수요를 가진 방향성 그래프에서 정확한 최대 유량 및 최소비용 유량를 $m^{1+o(1)}$ 시간 내에 달성한다.
• 방향성 비순환 그래프에서 $p$-노름 유량에 대해 고정밀도 해를 $m^{1+o(1)}$ 시간 내에 계산하며, 기존 최고 알고리즘의 정밀도를 따라간다.
• 엔트로피 정규화 최적 운반 및 행렬 스케일링 문제에 대해, 임의의 상수 $C>0$에 대해 최적값으로부터 $\exp(-\log^C m)$ 이내의 해를 $m^{1+o(1)}$ 시간 내에 계산한다.
• 동적 데이터 구조는 각 연산당 평균적으로 $m^{o(1)}$ 시간 내에 약간의 최소 비율 순환을 유지하며, 전체 $m^{1+o(1)}$ 실행 시간을 가능하게 한다.
• 자기 공명 장벽의 헤시안 항이 준다항식적으로 유계됨을 확인함으로써, 프레임워크는 일반적인 간선 분리 가능한 볼록 목표 함수를 지원한다.
• 매트릭스 스케일링에 대해 $\mathsf{nnz}(\mathbf{A})^{1+o(1)}$ 시간 복잡도로 처음으로 거의 선형 시간 해법을 달성한다.