[논문 리뷰] Maximum likelihood estimators for the extreme value index based on the block maxima method

Clément Dombry|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 23.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 블록 최대값 방법에서 극값 인덱스와 정규화 상수의 최대우도추정량(MLEs)을 사용하는 이론적 기반을 제시하며, 블록 최대값이 정확히 일반화된 극값 분포(GEV)를 따르는 것이라는 가정 없이도 최소한의 일阶 극값 조건 하에서 그 존재성과 일致성을 증명한다.

ABSTRACT

The maximum likelihood method offers a standard way to estimate the three parameters of a generalized extreme value (GEV) distribution. Combined with the block maxima method, it is often used in practice to assess the extreme value index and normalization constants of a distribution satisfying a first order extreme value condition, assuming implicitely that the block maxima are exactly GEV distributed. This is unsatisfactory since the GEV distribution is a good approximation of the block maxima distribution only for blocks of large size. The purpose of this paper is to provide a theoretical basis for this methodology. Under a first order extreme value condition only, we prove the existence and consistency of the maximum likelihood estimators for the extreme value index and normalization constants within the framework of the block maxima method.

연구 동기 및 목표

• 블록 최대값이 정확히 GEV 분포를 따른다는 가정에 의존함에도 불구하고 블록 최대값 방법에서 최대우도추정이 널리 사용되는 이유를 정당화하기 위해.
• 기본적으로 극값 분포의 도메인에 속하는 조건인 일阶 극값 조건을 만족하는 분포를 가정할 때, 극값 인덱스와 정규화 상수에 대한 MLE의 존재성과 일치성을 확립하기 위해.
• 일반적으로 MLE가 정확한 GEV 분포를 전제로 하여 정당화되지만, 실질적으로 블록 최대값은 근사적으로만 GEV 분포를 따르므로, 이에 대한 이론적 격차를 해소하기 위해.

제안 방법

• i.i.d. 관측치를 크기 m인 블록으로 나누고, 블록 최대값 M_{k,m}을 정의함.
• 일반화된 극값(GEV) 분포의 세 파라미터인 형상(γ), 위치(μ), 척도(σ)를 추정하기 위해 최대우도 방법을 적용함.
• GEV 분포의 로그우도 함수 ℓ_{(γ,μ,σ)}(x) = ℓ_γ((x−μ)/σ) − log σ 를 사용함.
• 일阶 극값 조건 F ∈ D(G_γ)에 기반하며, 평균 초과 함수 U(t) = (1/(1−F))^{←}(t)의 역함수로부터 유도된 정규화 상수 a_m 및 b_m 를 사용함.
• 포터의 경계와 정규 변화 이론을 활용하여 정규화된 최대값의 행동을 제어하고, 균일 적분 가능성을 도출함.
• α_n를 활용한 절단 기법과 모멘트 경계를 적용하여 타이트함과 확률 수렴성을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블록 최대값이 일阶 극값 조건 하에서 정확히 GEV 분포를 따르지 않더라도 극값 인덱스에 대한 최대우도추정량(MLE)은 여전히 일치하는가?
• RQ2 블록 최대값이 정확히 GEV 분포를 따르지 않더라도, GEV 분포에 대한 표준 MLE 프레임워크를 더 약한 조건 하에서 정당화할 수 있는가?
• RQ3 도메인에 속하는 조건만 만족할 경우, 극값 인덱스와 정규화 상수에 대한 MLE의 존재성과 일치성을 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ4 정규화 상수의 선택이 일阶 극값 조건 하에서 MLE의 점근적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 일阶 극값 조건 하에서 극값 인덱스에 대한 MLE는 균일 적분 가능한가?

주요 결과

• 극값 인덱스 γ와 정규화 상수에 대한 최대우도추정량은 블록 최대값이 정확히 GEV 분포를 따르지 않더라도 일阶 극값 조건 F ∈ D(G_γ) 하에서 존재하고 일치함을 입증함.
• 이전 결과가 점근 정규성을 위해 γ₀ > -1/2 가 필요로 했던 데 비해, 본 연구는 γ₀ > -1 에서도 일치성 유지함.
• 절단과 일반화된 역함수 U(t)에 대한 포터의 경계를 활용한 모멘트 경계를 통해 MLE의 균일 적분 가능성을 증명함.
• γ₀ > 0 이나 γ₀ < 0 인 경우, 정규 변화 함수에 대한 포터의 경계를 활용하여 정규화된 최대값의 꼬리 행동을 제어하고 적분 가능성을 확보함.
• γ₀ = 0 인 경우, 정규화된 최대값에 대한 로그 근사가 사용되며, ε ∈ (0, 1/p) 에서 적분 가능성이 입증됨.
• lim_{n→∞} m(n)/log n = ∞ 인 조건은 필요한 확률 수렴을 보장하며, MLE의 점근적 행동을 정당화함.