[논문 리뷰] Maximum Matching in Semi-Streaming with Few Passes

Christian Konrad, Frédéric Magniez외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 01.

Optimization and Search Problems참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 소수의 패ass에서 그래프의 최대 매칭을 위한 새로운 반스트리밍 알고리즘을 제안하며, 1/2를 초월하는 근사 비율을 달성한다. 랜덤한 간선 순서 하에서 이분 그래프에 대해 1/2 + 0.005 근사 비율을 달성하는 랜덤화된 한 번의 패스 알고리즘을 도입하였으며, 결정론적 두 번의 패스 알고리즘을 통해 이분 그래프에 대해 1/2 + 0.019, 일반 그래프에 대해 1/2 + 0.0071의 근사 비율을 달성하였다. 이 알고리즘들은 간선 필터링과 보조 숲 및 매칭 구조를 통한 증가 경로 탐지 기법을 사용한다.

ABSTRACT

In the semi-streaming model, an algorithm receives a stream of edges of a graph in arbitrary order and uses a memory of size $O(n \mbox{ polylog } n)$, where $n$ is the number of vertices of a graph. In this work, we present semi-streaming algorithms that perform one or two passes over the input stream for maximum matching with no restrictions on the input graph, and for the important special case of bipartite graphs that we refer to as maximum bipartite matching (MBM). The Greedy matching algorithm performs one pass over the input and outputs a $1/2$ approximation. Whether there is a better one-pass algorithm has been an open question since the appearance of the first paper on streaming algorithms for matching problems in 2005 [Feigenbaum et al., SODA 2005]. We make the following progress on this problem: In the one-pass setting, we show that there is a deterministic semi-streaming algorithm for MBM with expected approximation factor $1/2+0.005$, assuming that edges arrive one by one in (uniform) random order. We extend this algorithm to general graphs, and we obtain a $1/2+0.003$ approximation. In the two-pass setting, we do not require the random arrival order assumption (the edge stream is in arbitrary order). We present a simple randomized two-pass semi-streaming algorithm for MBM with expected approximation factor $1/2 + 0.019$. Furthermore, we discuss a more involved deterministic two-pass semi-streaming algorithm for MBM with approximation factor $1/2 + 0.019$ and a generalization of this algorithm to general graphs with approximation factor $1/2 + 0.0071$.

연구 동기 및 목표

• 반스트리밍 알고리즘이 한 번의 패스에서 최대 매칭 문제에 대해 1/2를 초월하는 근사 비율을 달성할 수 있는지 여부를 해결하는 것.
• 소수의 패스를 사용하는 반스트리밍 모델 하에서 최대 이분 매칭 및 일반 최대 매칭을 위한 효율적인 알고리즘을 설계하는 것.
• 랜덤한 간선 도착 순서 하에서 한 번의 패스 설정에서 그레디 알고리즘의 1/2 근사 비율 장벽을 극복하는 것.
• 랜덤 순서 가정 없이도 향상된 근사 비율을 달성하는 결정론적 두 번의 패스 알고리즘을 개발하는 것.
• 두 번의 패스 모델에서 임의의 그래프와 임의의 간선 순서에 대해 작동하도록 접근 방식을 일반화하는 것.

제안 방법

• 기본으로 그레디 매칭을 사용한 후, 3-증가 경로에서 사용될 수 있는 간선를 식별하기 위한 필터링 단계를 수행한다.
• 초기 매칭에 포함되지 않은 간선들로부터 차수 b가 제한된 숲 F를 구성하여 잠재적 증가를 분석한다.
• 두 번의 패스 설정에서, 첫 번째 패스에서 얻은 매칭 M'과 간선 집합 MR을 유지하여 3-증가 경로를 탐지한다.
• 차수 제약 조건과 정점 커버를 사용한 조합론적 경계를 적용하여 증가 가능한 간선의 수를 하한으로 제시한다.
• 이중 전략을 사용한다: 첫 번째 패스는 기본 매칭과 보조 구조를 계산하고, 두 번째 패스는 증가 경로를 식별하고 추가한다.
• 확률론적 및 극한 논증을 사용하여 증가 불가능한 간선의 수를 경계하고 근사 보장을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤한 간선 순서 하에서, 한 번의 패스 반스트리밍 알고리즘이 최대 이분 매칭 문제에 대해 1/2를 초월하는 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 랜덤 순서 가정 없이도, 최대 이분 매칭 문제에 대해 1/2를 초월하는 근사 비율을 달성하는 결정론적 두 번의 패스 반스트리밍 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 두 번의 패스 반스트리밍 모델에서 일반 그래프에 대해 달성 가능한 최고의 근사 비율은 얼마인가?
• RQ4 보조 숲에서의 차수 제약 조건과 정점 커버는 매칭 과정에서 증가 가능한 간선의 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 3-증가 경로 분석을 일반화하여 두 번의 패스 설정에서 향상된 근사 요인을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 최대 이분 매칭을 위한 랜덤화된 한 번의 패스 알고리즘이 균일한 랜덤 간선 순서 하에서 기대 근사 비율 1/2 + 0.005를 달성한다.
• 일반 최대 매칭을 위한 한 번의 패스 알고리즘이 동일한 랜덤 순서 가정 하에서 기대 근사 비율 1/2 + 0.003을 달성한다.
• 최대 이분 매칭을 위한 결정론적 두 번의 패스 알고리즘이 랜덤 순서 가정 없이도 근사 비율 1/2 + 0.019를 달성한다.
• 일반 최대 매칭을 위한 결정론적 두 번의 패스 알고리즘이 간선 도착 순서에 대한 가정 없이도 근사 비율 1/2 + 0.0071을 달성한다.
• 분석 결과, 특별히 선택된 부분집합 M'a의 적어도 1/3의 간선들이 3-증가 경로를 통해 증가 가능하며, 이는 향상된 근사 비율에 기여한다.
• 최적의 매개변수 선택을 통해 일반 그래프의 두 번의 패스 결정론적 설정에서 1/2 + 1/140 ≈ 1/2 + 0.007142의 근사 인자가 달성된다.