[논문 리뷰] Maximum occupation time of a transient excited random walk on Z

Reza Rastegar, Alexander Roitershtein|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수 격자 ℤ 위에서의 비정상적인 각성 랜덤 워크에서 가장 자주 방문된 위치에서의 최대 점유 시간의 渐近적 행동을 연구한다. 분기 과정 쌍화와 극한 정리들을 사용하여, 시간이 증가함에 따라 조차도 보다 단순한 랜덤 워크에서의 일반적인 행동과는 정반대되는 바, 이 워크는 자신의 가장 좋아하는 위치에서 양의 비율의 시간을 소비하지 않는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a transient excited random walk on $Z$ and study the asymptotic behavior of the occupation time of a currently most visited site. In particular, our results imply that, in contrast to the random walks in random environment, a transient excited random walk does not spend an asymptotically positive fraction of time at its favorite (most visited up to a date) sites.

연구 동기 및 목표

• 비정상적인 각성 랜덤 워크에서 현재로 가장 자주 방문된 위치에서의 점유 시간의 장기적 역학을 이해하기 위해.
• 이러한 워크가 표준 랜덤 워크에서의 직관과는 반대로, 가장 자주 방문된 위치에서 양의 점근적 비율의 시간을 소비하는지 여부를 규명하기 위해.
• 다양한 쿠키 환경 매개변수 하에서 최대 점유 시간에 대한 극한 정리를 수립하기 위해.
• 점유 시간의 점근적 행동을 결정하는 데 있어 안내된 이동량 매개변수 δ의 역할을 분석하기 위해.
• 최대 점유 시간이 시간에 대해 비선형적으로 증가함을 증명하여, 좋아하는 위치에서 양의 비율의 시간을 소비하지 않음을 의미하기 위해.

제안 방법

• 각 위치당 M개의 쿠키를 가진 ℤ 위의 각성 랜덤 워크를 모델링하며, 각 쿠키는 첫 M회 방문 시 방향성 편향을 유도한다.
• 서로 다른 위치에 독립적으로 동일하게 분포된 쿠키 무리가 있는 무작위 쿠키 환경 하에서 경로 행동을 분석하기 위해 조건부 측도와 안내된 측도를 사용한다.
• 지역 점유 수의 변화를 추적하고 극한 법칙을 유도하기 위해 분기 과정과의 쌍화를 적용한다.
• 최대 점유 시간의 limsup 행동을 분석하기 위해 Borel-Cantelli 보조정리와 재생 이론을 활용한다.
• δ > 1일 때 φ(n) = n^{1/δ}(log n)^{-α}를 사용하여 점근적 경계를 도출하며, 이때 α > 1/δ이다.
• 수렴 및 발산 기준을 사용하여 φ(n)에 대한 최대 점유 시간의 limsup 및 liminf 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℤ 위의 비정상적인 각성 랜덤 워크는 가장 자주 방문된 위치에서 양의 점근적 비율의 시간을 소비하는가?
• RQ2 최대 점유 시간은 시간에 비해 어떻게 증가하는가? 안내된 이동량 δ는 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 다른 매개변수 설정 하에서 현재로 가장 자주 방문된 위치의 점유 시간의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 최대 점유 시간은 분기 과정 근사와 극한 정리를 사용하여 특징지을 수 있는가?
• RQ5 최대 점유 시간이 어떤 조건에서 임의의 비선형 함수보다 더 빠르게 증가하는가?

주요 결과

• 가장 자주 방문된 위치에서의 최대 점유 시간은 시간에 대해 비선형적으로 증가하며, 이는 보다 선호하는 위치에서 양의 비율의 시간을 소비하지 않는다는 것을 의미한다.
• δ > 1일 때, φ(n) = n^{1/δ}(log n)^{-α}로 나눈 최대 점유 시간의 limsup는 거의 확실히 무한대이다. 이때 ∑ 1/[φ(m)]^δ = ∞ 이다.
• ∑ 1/[φ(m)]^δ < ∞일 때, 정규화된 최대 점유 시간의 limsup는 거의 확실히 유한하다.
• 쿠키 환경에 대한 약간의 비퇴화 조건 하에서도 결과는 성립하며, 이때 δ는 각 위치당 안내된 총 이동량이다.
• 이 증명은 점유 수의 증가를 제어하기 위해 분기 과정과의 쌍화 및 Borel-Cantelli 추론에 의존한다.
• δ > 2일 때, 워크의 점근적 속도는 양이며, 이는 분석에서 시간 스케일링에 영향을 준다.