[논문 리뷰] Maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base and polynomial subsequences

Damien Jamet, Pierre Popoli외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 18.

Coding theory and cryptography참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지크엔바이프 기수법에서의 자릿수 합 함수의 최대 순서 복잡도에 대한 하한을 설정하고, 이 함수가 모르픽 수열임을 보이며, 다항식 인덱스를 따라 추출된 부분수열이 높은 최대 순서 복잡도를 유지함을 보여준다. 이는 투-모르스 수열과 유사하다. 이러한 결과들은 자동적일 수는 없지만 여전히 예측 불가능성을 유지함을 보이며, 다항식 희소화 하에서 강력한 복잡도를 보이기 때문에 암호학적 의사난수 수열의 강력한 후보가 된다.

ABSTRACT

Automatic sequences are not suitable sequences for cryptographic applications since both their subword complexity and their expansion complexity are small, and their correlation measure of order 2 is large. These sequences are highly predictable despite having a large maximum order complexity. However, recent results show that polynomial subsequences of automatic sequences, such as the Thue--Morse sequence, are better candidates for pseudorandom sequences. A natural generalization of automatic sequences are morphic sequences, given by a fixed point of a prolongeable morphism that is not necessarily uniform. In this paper we prove a lower bound for the maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base which is an example of a morphic sequence. We also prove that the polynomial subsequences of this sequence keep large maximum order complexity, such as the Thue--Morse sequence.

연구 동기 및 목표

• 지크엔바이프 기수법에서의 자릿수 합 함수의 최대 순서 복잡도를 분석한다.
• 이 수열의 다항식 인덱스를 따라 추출된 부분수열이 여전히 높은 최대 순서 복잡도를 유지하는지 조사한다.
• 이 수열의 복잡도 행동을 투-모르스 수열과 같은 알려진 의사난수 수열과 비교한다.
• 특히 단계 비율의 수렴과 관련된 최대 순서 복잡도의 단계 함수 내의 구조적 및 수치적 패턴을 탐색한다.
• 모르픽 수열과 그 희소화 형태가 암호학적 의사난수 수열로서 강력한 후보가 될 수 있음을 이론적 및 계산적 증거로 제시한다.

제안 방법

• 저자들은 수열의 처음 $N$개 항을 생성할 수 있는 최소 피드백 시프트 레지스터 길이로 $N$번째 최대 순서 복잡도 $M(\mathcal{S}, N)$을 정의하고 계산한다.
• 직접 비순환 가중 그래프(DAWG) 알고리즘을 적용하여 선형 시간 및 메모리로 최대 순서 복잡도를 효율적으로 계산한다.
• 지크엔바이프 기수법에서의 자릿수 합 함수 및 다항식 인덱스(예: 제곱수, 세제곱수)를 따라 추출된 부분수열에 대한 최대 순서 복잡도의 행동을 분석한다.
• 고성능 클러스터(yeti)에서 계산 실험을 수행하여 $10^9$개 항까지 복잡도를 계산하고, 단계 패턴과 단계 비율의 수렴을 관찰한다.
• 최대 순서 복잡도 함수에서 연속된 단계 간 비율의 渐近 수렴에 관한 추측을 수립한다. 이 비율은 2나 황금률 $\varphi$와 같은 상수로 수렴할 것으로 예측된다.
• 복잡도 행동을 이해하기 위해 투-모르스 수열 및 아푸엔리안 수열과 같은 알려진 수열과 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지크엔바이프 기수법에서의 자릿수 합 함수는 $N$이 증가함에 따라 증가하는 최대 순서 복잡도의 하한을 가지는가?
• RQ2 이 모르픽 수열의 다항식 부분수열은 투-모르스 수열과 유사하게 큰 최대 순서 복잡도를 유지하는가?
• RQ3 최대 순서 복잡도 함수에서 관측된 단계 비율의 수렴에 대해 구조적 또는 수진 체계 기반의 설명이 가능한가?
• RQ4 이 수열의 최대 순서 복잡도는 자동 수열과 비교해 복잡도 측면에서 예측 가능성과 암호학적 적합성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 최대 순서 복잡도의 단계 함수는 지크엔바이프 기수법에서의 황금률과 같은 수진 체계와 관련된 더 깊은 패턴을 드러내는가?

주요 결과

• 지크엔바이프 기수법에서의 자릿수 합 함수는 $N$이 증가함에 따라 증가하는 최대 순서 복잡도를 가지며, 비자명한 하한을 확립한다.
• 이 수열의 다항식 부분수열(예: 제곱수, 세제곱수를 따라 추출된 수열)은 여전히 높은 최대 순서 복잡도를 유지하며, 강력한 의사난수 성질을 나타낸다.
• 지크엔바이프 기수법에서의 자릿수 합 수열에 대한 최대 순서 복잡도 함수에서 연속된 단계 간 비율은 황금률 $\varphi \approx 1.618$로 수렴하는 것처럼 보인다.
• 투-모르스 수열 유사 수열의 경우, 연속된 단계 간 비율은 2로 수렴하며, 이는 수진 체계에 기반한 보편적 행동임을 시사하며 자동성과는 무관하다.
• $10^9$개 항까지의 계산적 증거는 단계 비율의 수렴을 지지하지만, 추세를 명확히 확인하기 위해 추가 계산이 필요하다.
• 결과적으로 모르픽 수열과 그 다항식 희소화 형태는 자동 수열보다 최대 순서 복잡도 측면에서 더 강건함을 보이며, 암호학적 응용에서 더 나은 후보가 된다.