[논문 리뷰] Maximum Principle and Data Assimilation Problem for the Optimal Control Problems Governed by 2D Nonlocal Cahn-Hillard-Navier-Stokes Equations

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 방정식으로 지배되는 최적 제어 문제에 대해 Pontryagin 최대원리를 수립하며, Ekeland 변분 원리를 통해 1차 필요 최적성 조건을 도출한다. 또한 최적 제어 기법을 활용하여 미지의 초기 데이터를 복원하는 데이터 아문디레이션 문제를 제안하며, 최적의 초기 제어는 시간 0에서의 음의 양함수 상태로 특징지어진다.

ABSTRACT

We study some optimal control problems associated to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two-dimensional bounded domain. The Cahn- Hilliard-Navier-Stokes model consists of a Navier-Stokes equation governing the fluid velocity field coupled with a convective Cahn-Hilliard equation for the relative concentration of one of the fluids. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard- Navier-Stokes equations. We establish the first-order necessary conditions of optimality by proving the Pontryagin's maximum principle for optimal control of such system via the seminal Ekeland variational principle. The optimal control is characterized using the adjoint variable. We also study an another control problem which is similar to data assimilation problems in meteorology of obtaining unknown initial data. Considering the same underlying system as above we establish the optimal initial data in terms of the corresponding adjoint variable.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 방정식으로 지배되는 분포형 최적 제어 문제에 대한 1차 필요 최적성 조건을 수립하기 위해.
• 이러한 비국소, 비선형, 결합된 PDE 시스템에 대해 Ekeland 변분 원리를 적용하여 Pontryagin 최대원리를 도출하기 위해.
• 동일한 시스템에서 미지의 초기 데이터를 복원하기 위해 최적 제어 기법을 활용한 데이터 아문디레이션 문제를 제안하고 분석하기 위해.
• 최적의 초기 제어를 시간 0에서의 양함수 상태의 음으로 특징지어주기 위해.
• 적절한 함수 공간에서 양함수 시스템의 해의 존재성과 정(regularity)을 증명하여 최적성 조건의 잘 정의됨을 보장하기 위해.

제안 방법

• 비대칭적이고 비국소적인 상호작용을 콘볼루션 커널 $\mathrm{J}$를 통해 가지는 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템을 만족하는 분포형 최적 제어 문제를 수립하며, 비용 기능을 최소화하기 위한 조건을 설정한다.
• Ekeland 변분 원리를 적용하여 Pontryagin 최대원리 형태의 1차 필요 최적성 조건을 도출한다.
• 속도 및 농도 방정식에 대응하는 양함수 변수 $\mathbf{p}$ 와 $\eta$로 구성된 역행성 시간 PDE로 이루어진 양함수 시스템을 도입한다.
• 양함수 해의 정(regularity)을 확립한다: $\mathbf{p} \in \mathrm{C}([0,T];\mathbb{V}_{\text{div}}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathbb{H}^2)$ 와 $\eta \in \mathrm{C}([0,T];\mathrm{V}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathrm{H}^2)$ 로서, 강한 해의 성립을 보장한다.
• 에너지 추정과 Grönwall의 부등식을 사용하여 양함수 변수를 시간에 대해 균일하게 유계로 유지함을 증명하고, 연속성과 적분 가능성을 입증한다.
• 최적의 초기 제어를 $\mathrm{U}^* = -\mathbf{p}(0)$ 로 특징지으며, $\mathbf{p}(0) \in \mathbb{V}_{\text{div}}$ 를 만족함으로써 제어를 시간 0에서의 양함수 상태의 초기값과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대한 분포형 최적 제어 문제에 대한 1차 필요 최적성 조건은 무엇인가요?
• RQ2 Ekeland 변분 원리는 이러한 비국소, 결합된, 비선형 PDE 시스템에 대해 최대원리를 어떻게 도출할 수 있나요?
• RQ3 최적 제어 기법을 통해 이 시스템의 초기 데이터를 복원할 수 있으며, 이는 유체역학에서의 데이터 아문디레이션과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ4 최적 제어 문제와 관련된 양함수 시스템의 정(regularity)과 구조는 무엇인가요?
• RQ5 최적의 초기 제어는 시간 0에서의 양함수 상태로 어떻게 특징지어지나요?

주요 결과

• Ekeland 변분 원리를 활용하여 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 방정식의 최적 제어 문제에 대해 Pontryagin 최대원리가 엄밀히 수립되었다.
• 최적 제어는 $\mathrm{U}^* = -\mathbf{p}(0)$ 로 특징지어지며, 여기서 $\mathbf{p}$ 는 양함수 시스템의 해이고 $\mathbf{p}(0) \in \mathbb{V}_{\text{div}}$ 를 만족한다.
• 양함수 상태 $\mathbf{p}$ 는 $\mathrm{C}([0,T];\mathbb{V}_{\text{div}}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathbb{H}^2)$ 에 속하며, $\eta$ 는 $\mathrm{C}([0,T];\mathrm{V}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathrm{H}^2)$ 에 속하여 강한 정(regularity)을 보장한다.
• 에너지 추정과 Grönwall의 부등식을 사용하여 양함수 변수가 시간에 대해 균일하게 유계임을 증명하였으며, 이 유계성은 상태 변수의 정(regularity)과 커널 $\mathrm{J}$ 의 성질에 따라 결정된다.
• 데이터 아문디레이션 문제를 최적 제어 문제로 제안하였으며, 이는 미지의 초기 데이터를 복원하기 위한 것으로, 최적의 초기 제어는 $t=0$ 에서의 양함수 상태로부터 도출된다.
• 분석을 통해 양함수 시스템의 잘 정의됨이 확인되었고, 유일한 최적 제어 삼중조 $ (\mathbf{u}^*, \varphi^*, \mathrm{U}^*) \in \mathscr{A}_{\text{ad}} $ 가 존재함을 입증하였다.