[논문 리뷰] Maximum principles and monotonicity of solutions for fractional p-equations in unbounded domains

Zhao Liu, Wenxiong Chen|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 해가 무한대에서 점 渐진적 행동을 갖는다는 가정 없이, 유계가 아닌 영역에서 분수형 p-라플라시안 방정식에 대한 최대원리(maximum principle)를 수립한다. 비선형성과 비국소성(nonlocality)을 다루기 위해 새로운 기법을 도입함으로써, 저자들은 슬라이딩 방법(sliding method)을 통해 해의 단조성과 유일성을 증명하며, 이는 이전의 선형 또는 국소적 연산자에 대한 연구에 비해 비선형성 f와 도메인 Ω에 대한 조건을 상당히 약화시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the following non-linear equations in unbounded domains $Ω$ with exterior Dirichlet condition: \begin{equation*}\begin{cases} (-Δ)_p^s u(x)=f(u(x)), & x\inΩ,\\ u(x)>0, &x\inΩ,\\ u(x)\leq0, &x\in \mathbb{R}^n\setminus Ω, \end{cases}\end{equation*} where $(-Δ)_p^s$ is the fractional p-Laplacian defined as \begin{equation} (-Δ)_p^s u(x)=C_{n,s,p}P.V.\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}[u(x)-u(y)]}{|x-y|^{n+s p}}dy \label{0} \end{equation} with $0

연구 동기 및 목표

• 해가 무한대에서 점 渐진적 행동을 갖는다는 가정 없이, 비유계 영역에서 분수형 p-라플라시안 방정식에 대한 최대원리를 수립하는 것.
• 비유계 영역에서 경계에서 멀리 떨어진 곳에서 해의 점 渐진적 행동을 분석하는 것.
• 완전히 비선형적이며 비국소적인 분수형 p-라플라시안 연산자에 특화된 슬라이딩 방법을 개발하는 것.
• f와 도메인 Ω에 대해 최소한의 가정 하에 양의 해의 단조성과 유일성을 증명하는 것.
• 기존의 선형적이고 국소적인 연산자에 대한 방법을 완전히 비선형적이며 비국소적인 분수형 p-라플라시안 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 최대원리를 증명하기 위해, 분수형 p-라플라시안 정의에서의 특이적분을 근사 최대점의 수열 沿해 추정한다.
• 비국소 연산자의 비타당성(degeneracy)를 다루기 위해, 호프 보조정리(Hopf lemma)의 변종을 핵심 경계 추정으로 사용한다.
• 콤���트 지지집합을 갖는 Φ를 갖는 편미분 함수 εₖΦ를 도입하여 해를 정규화하고 비국소 적분을 제어한다.
• 분수형 p-라플라시안에 대한 비교원리를 적용하여 해를 비교하고 단조성을 도출한다.
• 비국소적이며 비선형인 분수형 p-라플라시안의 구조에 맞게 조정된 슬라이딩 방법을 개발하여 대칭성과 유일성을 증명한다.
• 함수 G(t) = |t|^{p-2}t의 구조와 평균값 정리 추정을 활용하여 적분 커널 내의 비선형성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에서 해의 점 渐진적 감쇠 또는 행동을 가정하지 않고, 비유계 영역에서 분수형 p-라플라시안에 대해 최대원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 완전히 비선형적이며 비국소적인 분수형 p-라플라시안 연산자에 대해 슬라이딩 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 해의 단조성과 유일성을 보장하기 위해 비선형성 f와 도메인 Ω에 필요한 필수 조건은 무엇인가?
• RQ4 기존의 선형적 또는 국소적 연산자에 대한 결과에 비해 f와 Ω에 대한 가정을 얼마나 약화시킬 수 있는가?
• RQ5 비유계 영역에서 분수형 p-라플라시안 방정식의 해는 |x| → ∞ 일 때 어떤 점 渐진적 행동을 보이는가?

주요 결과

• 무한대에서 해에 대한 점 渐진적 조건을 요구하지 않고도, 비유계 영역에서 분수형 p-라플라시안에 대해 새로운 최대원리가 수립된다.
• 해의 점 渐진적 행동이 무한대에서 0으로 감쇠됨을 증명하였으며, 이를 사전 가정하지 않아도 된다.
• 분수형 p-라플라시안에 대해 성공적으로 슬라이딩 방법이 개발되어 해의 단조성과 유일성을 증명할 수 있게 되었다.
• 분수형 p-라플라시안에 대한 비교원리가 증명되었으며, u ≥ v가 도메인 외부에서 성립하고 (-Δ)ₚˢu ≥ (-Δ)ₚˢv가 내부에서 성립한다면, 전체 도메인에서 u ≥ v임을 보여준다.
• 만약 어떤 내부 점에서 u = v이면, ℝⁿ 전역에서 거의 어디서나 u = v임을 의미하므로 강한 유일성이 성립한다.
• 이 방법은 이전의 선형적 또는 국소적 연산자에 대한 연구에 비해 f와 Ω에 대한 조건을 상당히 약화시켜, 비선형 비국소 문제에 대한 적용 범위를 넓혔다.