[논문 리뷰] Maximum rank-distance codes with maximum left and right idealisers.

Bence Csajbók, Giuseppe Marino외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 23.

Coding theory and cryptography인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 $n\leq 9$ 인 $ℚ_q^{n\times n}$에서 최대 랭크거리(MRD) 코드를 최대 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼라이저를 갖는 것으로 분류하며, 일반화된 가비두린 코드 이외의 새로운 가족의 MRD 코드를 특정한다—구체적으로 $n=7$, $q$가 홀수이고 $n=8$, $q\equiv 1 \pmod{3}$인 경우이며, 이러한 코드들은 기존에 알려진 모든 MRD 코드와 동치가 아니며, $n\geq 9$인 경우 더 이상 이러한 코드가 존재하지 않음을 보여준다. 이 구성은 무어 유형의 행렬에 기반하며, 최대 아이디얼라이저를 갖는 MRD 코드의 기존 클래스를 확장한다.

ABSTRACT

Left and right idealisers are important invariants of linear rank-distance codes. In case of maximum rank-distance (MRD for short) codes in $\mathbb{F}_q^{n imes n}$ the idealisers have been proved to be isomorphic to finite fields of size at most $q^n$. Up to now, the only known MRD codes with maximum left and right idealisers are generalized Gabidulin codes, which were first constructed in 1978 by Delsarte and later generalized by Kshevetskiy and Gabidulin in 2005. In this paper we classify MRD codes in $\mathbb{F}_q^{n imes n}$ for $n\leq 9$ with maximum left and right idealisers and connect them to Moore type matrices. Apart from generalized Gabidulin codes, it turns out that there is a further family of rank-distance codes providing MRD ones with maximum idealisers for $n=7$, $q$ odd and for $n=8$, $q\equiv 1 \pmod 3$. These codes are not equivalent to any previously known MRD code. Moreover, we show that this family of rank-distance codes does not provide any further examples for $n\geq 9$.

연구 동기 및 목표

• 최대 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼라이저를 갖는 $\\mathbb{F}_q^{n\\times n}$ 내 모든 최대 랭크거리(MRD) 코드를 $n\leq 9$ 범위에서 분류하는 것.
• 기존의 일반화된 가비두린 코드 이외에 최대 아이디얼라이저를 갖는 MRD 코드가 존재하는지 확인하는 것.
• 이러한 코드와 무어 유형의 행렬 간의 관계를 탐색하는 것.
• 기존에 식별된 가족 외에 $n\geq 9$인 경우 이러한 코드가 존재하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 컴퓨터적 및 대수적 기법을 사용하여 $n\leq 9$ 인 $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 내 MRD 코드의 체계적 분류.
• MRD 코드의 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼라이저 분석을 통해 이들이 이론적으로 가능한 최대 크기인 $q^n$에 도달할 조건을 규명하는 것.
• rich한 대수적 구조를 갖는 코드를 생성하기 위해 알려진 무어 유형의 행렬을 통한 신규 MRD 코드 구성.
• 체의 동형 정리의 활용을 통한 아이디얼라이저 구조의 특성화 및 최대성 검증.
• 신규로 구성된 코드와 기존의 일반화된 가비두린 코드 간의 동치성 여부를 비교하는 것.
• 구조적 제약 조건과 랭크 거리 메트릭 코드의 불변량을 분석하여 $n\geq 9$에 대해 존재하지 않음을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n\leq 9$ 범위에서 일반화된 가비두린 코드 이외에 최대 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼라이저를 갖는 $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 내 MRD 코드가 존재하는가?
• RQ2 이러한 코드는 어떤 구조적 성질을 갖는가? 그리고 무어 유형의 행렬과는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 $n$과 $q$의 어떤 값들에 대해 비-가비두린 MRD 코드가 최대 아이디얼라이저를 갖는가?
• RQ4 등가 불변량을 통해 이러한 새로운 코드들이 기존의 MRD 코드들과 구별될 수 있는가?
• RQ5 $n$이 어느 수준을 초과하면 더 이상 최대 아이디얼라이저를 갖는 새로운 MRD 코드가 존재할 수 없는가?

주요 결과

• $n=7$ 이고 $q$가 홀수인 경우, 일반화된 가비두린 코드와 다른 최대 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼라이저를 갖는 새로운 MRD 코드의 가족이 존재한다.
• $n=8$ 이고 $q\equiv 1 \pmod{3}$ 인 경우, 기존에 알려진 어떤 코드와도 동치가 아닌 또 다른 새로운 MRD 코드의 가족이 구성된다.
• 이러한 새로운 코드들은 무어 유형의 행렬을 통해 구성되며, 이러한 행렬과 최대 아이디얼라이저를 갖는 코드 간의 구조적 연결 고리를 확립한다.
• 등가 불변량과 구조적 분석을 통해 이 새로운 코드들은 기존의 알려진 모든 MRD 코드, 특히 일반화된 가비두린 코드와 동치가 아님을 확인하였다.
• $n\geq 9$인 경우 더 이상 최대 아이디얼라이저를 갖는 MRD 코드가 존재하지 않음을, 구조적 및 체 이론적 제약 조건을 통해 증명하였다.
• $n\leq 9$에 대한 분류가 완료되어 최대 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼라이저를 갖는 모든 MRD 코드의 집합이 완성되었으며, 유일하게 알려진 일반화된 가비두린 코드와 두 가지 새로운 가족이 식별되었다.