[논문 리뷰] Maximum Weight Independent Set in lClaw-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Raffaele Mosca|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 18.

VLSI and FPGA Design Techniques참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 고정된 $l$에 대해 $l$-클로우리스 그래프에서 최대 무게 독립집합(MWIS) 문제에 대한 다항시간 알고리즘을 제시한다. 이는 이전의 클로우리스 및 $lK_2$-리스 그래프에 대한 결과를 확장한 것이다. 접근 방식은 반대 이웃(anti-neighborhood) 기반의 재귀적 분해와, 모든 최대 독립집합을 포함하는 클로우리스인 부분그래프의 다항시간 크기의 가족을 구성하는 새로운 알고리즘, 알고리즘 감마($l$)를 사용한다. 이를 통해 동적 프로그래밍을 통해 MWIS 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set (MWIS) problem is a well-known NP-hard problem. For graphs $G_1, G_2$, $G_1+G_2$ denotes the disjoint union of $G_1$ and $G_2$, and for a constant $l \ge 2$, $lG$ denotes the disjoint union of $l$ copies of $G$. A {\em claw} has vertices $a,b,c,d$, and edges $ab,ac,ad$. MWIS can be solved for claw-free graphs in polynomial time; the first two polynomial time algorithms were introduced in 1980 by \cite{Minty1980,Sbihi1980}, then revisited by \cite{NakTam2001}, and recently improved by \cite{FaeOriSta2011,FaeOriSta2014}, and by \cite{NobSas2011,NobSas2015} with the best known time bound in \cite{NobSas2015}. Furthermore MWIS can be solved for the following extensions of claw-free graphs in polynomial time: fork-free graphs \cite{LozMil2008}, $K_2$+claw-free graphs \cite{LozMos2005}, and apple-free graphs \cite{BraLozMos2010,BraKleLozMos2008}. This manuscript shows that for any constant $l$, MWIS can be solved for $l$claw-free graphs in polynomial time. Our approach is based on Farber's approach showing that every $2K_2$-free graph has ${\cal O}(n^2)$ maximal independent sets \cite{Farbe1989}, which directly leads to a polynomial time algorithm for MWIS on $2K_2$-free graphs by dynamic programming. Solving MWIS for $l$claw-free graphs in polynomial time extends known results for claw-free graphs, for $lK_2$-free graphs for any constant $l$ \cite{Aleks1991,FarHujTuz1993,Prisn1995,TsuIdeAriShi1977}, for $K_2$+claw-free graphs, for $2P_3$-free graphs \cite{LozMos2012}, and solves the open questions for $2K_2+P_3$-free graphs and for $P_3$+claw-free graphs being two of the minimal graph classes, defined by forbidding one induced subgraph, for which the complexity of MWIS was an open problem.

연구 동기 및 목표

• 클로우리스 그래프의 자연스러운 확장인 $l$-클로우리스 그래프에서 MWIS 문제의 복잡도를 해결하기 위해.
• 이전에 알려진 $lK_2$-리스 및 $K_2$+클로우리스 그래프에서의 MWIS 다항시간 결과를 더 넓은 클래스로 확장하기 위해.
• 최소 금지 부분그래프 클래스인 $2K_2+P_3$-리스 및 $P_3$+클로우리스 그래프에 대한 열린 문제를 이 프레임워크로 해결하기 위해.
• 파르버(Farber)의 $2K_2$-리스 그래프에 대한 접근 방식을 $l$-클로우리스 그래프로 일반화하기 위해 구조적 분해를 통해.

제안 방법

• 모든 원본 그래프의 최대 독립집합을 포함하는 좋은 클로우리스 가족을 생성하기 위해 알고리즘 감마($l$)를 제안한다.
• 재귀적 분해를 사용한다: 각 유도된 $L_k$(특정 5정점 부분그래프)에 대해 반대 이웃 $A_G(L_k)$를 계산하며, 이는 $(l-1)$-클로우리스이다.
• $l$에 대한 귀납을 적용하여 $l-1$에 대해 방법이 작동한다고 가정함으로써, 반대 이웃이 좋은 클로우리스 가족을 갖는다는 것을 보장한다.
• 반복적 확장을 통해 $O(n)$ 시간 내에 각 루프당, 정점의 부분집합으로 이루어진 다항시간 크기의 가족 ${\cal S}$를 구성한다.
• 각 ${\cal S}$의 원소에 대해 동적 프로그래밍을 적용하며, 클로우리스 그래프에 대해 알려진 $O(n^2 \log n)$ MWIS 알고리즘(정리 1)을 활용한다.
• ${\cal S}$의 모든 원소에서의 결과를 조합하여 최대 무게 독립집합을 반환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 고정된 $l$에 대해 $l$-클로우리스 그래프에서 MWIS 문제를 다항시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 $2K_2$-리스 그래프에서 사용된 구조적 접근 방식이 $l$-클로우리스 그래프로 확장되는가?
• RQ3 $2K_2+P_3$-리스 및 $P_3$+클로우리스 그래프는 이전에 열린 문제였지만, 이 프레임워크로 해결되었는가?
• RQ4 $l$-클로우리스 그래프에서 좋은 클로우리스 가족을 다항시간 내에 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 고정된 $l$에 대해 $l$-클로우리스 그래프에서 MWIS 문제는 다항시간 내에 해결 가능하며, 이는 열린 문제를 해결한 것이다.
• 알고리즘 감마($l$)는 다항시간 내에 좋은 클로우리스 가족을 계산하며, 구성원 수가 $n$에 대한 다항식으로 유 bounds된다.
• 알고리즘 감마($l$)에 의해 구성된 가족 ${\cal S}$는 입력 그래프의 모든 최대 독립집합을 포함한다.
• ${\cal S}$의 각 원소는 클로우리스 부분그래프를 유도하며, 이는 각 구성요소에서 알려진 $O(n^2 \log n)$ MWIS 알고리즘을 적용할 수 있음을 의미한다.
• 알고리즘 MWIS($l$)의 총 시간 복잡도는 다항시간이며, 기반 클로우리스 MWIS 알고리즘의 시간 복잡도와 일치한다.
• 이 결과는 이전의 $lK_2$-리스, $K_2$+클로우리스, $2P_3$-리스 그래프 결과를 일반화하며, 두 개의 최소 열린 케이스인 $2K_2+P_3$-리스 및 $P_3$+클로우리스 그래프를 해결한다.