[논문 리뷰] Maximum Wiener index of unicyclic graphs with given bipartition

Jan Bok, Nikola Jedličková외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 27.

Graph theory and applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 이분할 (p, q)을 가진 단순순환 이분 그래프 중에서 위너 지수를 최대화하는 그래프를 규명함으로써, 극값 그래프 이론에서 열려 있는 문제를 해결한다. 최대값은 유일하게 '양파 그래프'(onion graph) 구조인 $\mathrm{On}(\lfloor(q-p)/2\rfloor, 2p-3, \lceil(q-p)/2\rceil)$에 의해 달성되며, 최대 위너 지수 값에 대한 폐쇄형 공식을 제시한다.

ABSTRACT

The \emph{Wiener index} is a widely studied topological index of graphs. One of the main problems in the area is to determine which graphs of given properties attain the extremal values of Wiener index. In this paper we resolve an open problem posed by Du in 2012. To this end we determine the unicyclic bipartite graphs with given size of parts having the maximum Wiener index. This completes the previous research in which the minimum case was solved.

연구 동기 및 목표

• Du(2012)가 제기한, 고정된 이분할 (p, q)을 가진 단순순환 이분 그래프에 대한 최대 위너 지수 문제를 해결하는 것.
• 주어진 부분 크기 p와 q를 가진 단순순환 그래프 중에서 최대 위너 지수를 달성하는 그래프의 구조를 규명하는 것.
• 이전에 최소 위너 지수에 대한 연구가 이루어진 바를 바탕으로, 최대 경우를 완성하여 극값 특성 분석을 완료하는 것.
• p와 q에 대한 최대 위너 지수 값에 대한 폐쇄형 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• '양파 그래프' $\mathrm{On}(k,l,m)$를 도입함: 4사이클의 한 꼭짓점에 연결된 매달린 간선, 반대 꼭짓점에 길이 l의 경로가 연결되고, 다른 끝에 m개의 매달린 간선이 있는 구조.
• 전달 기반 분석을 사용함: 위너 지수는 각 꼭짓점의 전달값의 합의 절반으로 계산되며, 전달값 $t_G(v)$는 꼭짓점 v에서 다른 모든 꼭짓점까지의 거리의 합이다.
• 일련의 보조정리를 통해 극값 그래프의 구조를 제약함: 모든 극값 그래프는 4사이클을 포함하고, 모든 매달린 꼭짓점은 더 큰 부분 Q에 있어야 한다.
• 그래프 식별을 이용한 변환 추론을 적용함: 더 작은 그래프의 꼭짓점을 식별하여 생성된 그래프의 위너 지수를 비교함으로써, 최적 구조에서의 이탈이 지수를 감소시킴을 보임.
• 보조정리 11을 사용하여 양파 그래프 내 꼭짓점의 정확한 전달값을 계산함으로써, 위너 지수의 정밀한 비교가 가능해짐.
• 보조정리 2(전달값 비교 보조정리)를 적용하여, 최적 파arameter화에서의 이탈이 새로운 그래프에서 위너 지수를 엄밀히 증가시킴을 보임으로써, 최대성에 모순됨을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 (p,q)-분할을 가진 단순순환 이분 그래프 중에서 최대 위너 지수를 달성하는 그래프는 무엇인가?
• RQ2 이 클래스에서 최대 위너 지수를 가지는 유일한 극값 그래프의 구조가 존재하는가?
• RQ3 p와 q에 대한 최대 위너 지수의 폐쇄형 표현은 무엇인가?
• RQ4 사이클 크기, 경로 길이, 매달린 간선 분포와 같은 구조적 매개변수들이 단순순환 그래프에서 위너 지수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 부분 크기 p와 q(1 < p ≤ q)를 가진 단순순환 이분 그래프의 최대 위너 지수는 유일하게 양파 그래프 $\mathrm{On}(\lfloor(q-p)/2\rfloor, 2p-3, \lceil(q-p)/2\rceil)$에 의해 달성된다.
• 이 극값 그래프의 위너 지수는 다음의 명시적 공식으로 주어진다: $(2p-5)\cdot\lceil(q-p)/2\rceil\lfloor(q-p)/2\rfloor + (p-7)\lceil(q-p)/2\rceil + (13-7p)\lfloor(q-p)/2\rfloor + 2p^2q + (q-p)^2 + 2p^3 - 37p + 66$.
• 양파 그래프의 최적 파arameter화에서의 이탈(예: 사이클의 두 꼭짓점에 매달린 간선의 비균형 분포)은 엄밀히 작은 위너 지수를 초래한다.
• 극값 그래프는 4사이클을 포함해야 하며, 모든 매달린 꼭짓점은 더 큰 부분 Q의 동일한 사이클 꼭짓점에 연결되어야 한다.
• 극값 그래프에서 경로 길이는 고정되어 있으며, 총 꼭짓점 수와 매달린 간선 수를 바탕으로 $2p - 3$으로 결정된다.
• 전달값 비교를 통한 분석을 통해, 다른 구성이 이분할 제약을 위반하거나 전달값 비교에 의해 더 낮은 위너 지수를 유도하므로, 유일성이 증명된다.