[논문 리뷰] Maxwell and Navier-Stokes Equations Equivalent to Einstein Equation

Fabio G. Rodrigues, Roldão da Rocha외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 24.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특정 조건—특히 비자명한 칼링 벡터장의 존재—하에서 일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식이 자연스럽게 마克斯웰 유사 및 나비에-스토크스 유사 방정식을 도출함을 보여준다. 핵심 결과는 칼링 벡터를 가진 시공간에서 단일 기하 구조에서 아인슈타인, 마克斯웰, 나비에-스토크스 방정식을 통합적으로 유도함으로써 중력, 전자기력, 유체역학 간 깊은 수학적 연결을 드러내는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we are concerned to reveal that any spacetime structure \slg ,D,{ au}_{[sg] \sslg },\uparrow>, which is a model of a gravitational field in General Relativity generated by an energy-momentum tensor T --- and which contains at least one nontrivial Killing vector field A --- is such that the 2-form field F=dA (where A=[g] \slg (A,)) satisfies a Maxwell like equation --- with a well determined current that contains a term of the superconducting type--- which follows directly from Einstein equation. Moreover, we show that the resulting Maxwell like equations, under an additional condition imposed to the Killing vector field, may be written as a Navier-Stokes like equation as well. As a result, we have a set consisting of Einstein, Maxwell and Navier-Stokes equations that follows sequentially from the first one under precise mathematical conditions and once some identifications about field variables are evinced, as detailed explained throughout the text. We compare and emulate our results with others on the same subject appearing in the literature.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 칼링 벡터장이 존재하는 시공간에서 아인슈타인 방정식에서 마克斯웰 유사 방정식으로의 수학적 경로를 확립하기.
• 유도된 마克斯웰 유사 방정식의 소스 전류를 특정 기하 조건을 통해 초전도체 유사 성분이 포함된 형태로 규명하기.
• 칼링 벡터장에 추가 조건을 부과할 경우 동일한 시스템이 나비에-스토크스 유사 방정식을 도출함을 보여주기.
• 정밀한 기하 조건 하에서 일반 상대성 이론의 결과로서 아인슈타인, 마克斯웰, 나비에-스토크스 방정식을 순차적으로 통합하는 통합적 기반을 제공하기.

제안 방법

• 에너지-모멘텀 텐서 T를 갖는 중력장으로서의 시공간 구조 (g, D, {α}_{[sg]}, ↑)를 활용하기.
• £_A g = 0 를 만족하는 비자명한 칼링 벡터장 A 를 식별하여 2형 미분형식 F = dA 를 도출하기.
• 아인슈타인 방정식과 칼링 장 성질을 대입하여 F 를 위한 마克斯웰 유사 방정식을 도출하기.
• 기하 조건을 통해 마克斯웰 유사 방정식의 전류에 초전도체 유사 성분을 도입하기.
• 칼링 장에 추가 조건을 도입하여 나비에-스토크스 유사 방정식을 도출할 수 있도록 하기.
• 동일한 기하 구조에서 나비에-스토크스 유사 방정식이 유도되도록 할 수 있는 장 변수의 대응 관계를 설정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인 방정식이 칼링 장 A 에서 유도된 2형 미분형식 F = dA 에 대해 마克斯웰 유사 방정식을 유도하는 기하적 조건은 무엇인가?
• RQ2 유도된 마克斯웰 유사 방정식의 전류 항, 특히 초전도체 유사 성분의 물리적 및 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 칼링 장에 어떤 추가 조건이 부여되어야 동일한 시스템으로부터 나비에-스토크스 유사 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 아인슈타인, 마克斯웰 유사, 나비에-스토크스 유사 방정식은 일반 상대성 이론 내에서 어떤 단일 기하 구조에서 순차적으로 연결되는가?
• RQ5 기존의 중력-전자기력-유체역학 유사 이론 문헌과 비교해 볼 때, 이 유도된 방정식들은 어떤가?

주요 결과

• 비자명한 칼링 장 A 에서 유도된 2형 미분형식 F = dA 는 아인슈타인 방정식에서 직접 유도되는 마克斯웰 유사 방정식을 만족한다.
• 유도된 마克斯웰 유사 방정식의 전류에는 기하학적 구조와 칼링 장으로 인해 기인하는 초전도체 유사 성분이 포함되어 있다.
• 칼링 장에 추가 조건을 부과할 경우 동일한 시스템은 나비에-스토크스 유사 방정식을 도출하며, 중력과 유체역학을 연결한다.
• 아인슈타인, 마克斯웰 유사, 나비에-스토크스 유사 방정식은 정밀한 장 변수 대응 관계를 갖는 일반 상대성 이론 내 단일 기하 구조에서 순차적으로 도출된다.
• 결과는 기존의 유사 중력 이론 및 통합 장 이론 문헌과 일치하며, 새로운 기하학적 유도 방식을 강조한다.