[논문 리뷰] Maxwell equation, Shroedinger equation, Dirac equation, Einstein equation defined on the multifractal sets of the time and the space

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|2000. 02. 01.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간 및 공간에 따라 변화하는 분수차원을 기반으로 일반화된 분수도함수(GFD)를 도입하여 물리학의 기본 방정식—맥스웰, 슈뢰딩거, 디рак, 아인슈타인—을 일반화한다. 이 방법은 분수차원이 1에 가까울 경우 표준 형태로 수렴하며, 약한 필드(예: 지구 중력의 경우 약 10⁻⁹)에서는 작은 보정을 제공하지만, 강한 필드 영역에서는 여전히 정칙하고 특이성 없이 유지된다.

ABSTRACT

What forms will have an equations of modern physics if the dimensions of our time and space are fractional? The generalized equations enumerated by title are presented by help the generalized fractional derivatives of Riemann-Liouville.

연구 동기 및 목표

• 현대 물리학의 핵심 방정식을 분수(분수적) 차원을 가진 시공간으로 확장하기 위해.
• 시간과 공간의 차원이 공간적으로 및 시간적으로 변화하는 다중분수 집합에서 물리 법칙을 모델링하기 위해.
• 일반화된 분수도함수(GFD)를 사용하여 약한 필드 조건에서 표준 방정식의 보정을 유도하기 위해.
• 분수차원이 1에서 크게 벗어나는 강한 필드 영역에서 이러한 방정식의 거동을 탐색하기 위해.
• 다중분수 시공간에서 특이성 없이 작동하는 중력장 이론과 양자장 이론의 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 리만-리우빌 유형의 일반화된 분수도함수(GFD)를 도입하며, 이는 미분의 차수를 위치와 시간의 함수로 취한다. 즉, $ d_t = d_t(oldsymbol{r},t) $, $ d_{oldsymbol{r}} = d_{oldsymbol{r}}(oldsymbol{r},t) $.
• 표준 방정식(맥스웰, 슈뢰딩거, 디рак, 아인슈타인)에서 일반 도함수를 이러한 GFD로 대체하여 다중분수 시공간 집합 위의 방정식을 정의한다.
• 에너지 밀도의 라그랑지안을 통해 분수차원의 의존성을 유도하며, $ d_t = 1 + \beta_{i,\rho} L_{i,\rho} $ 를 통해 기하학과 물리장 간의 연결을 맺는다.
• GFD를 표준 도함수의 교정으로 표현하기 위해 $ d_\tau = 1 + \tilde{\rho}(\boldsymbol{r},t) $, $ |\tilde{\rho}| \to 0 $ 의 근사치를 적용한다.
• GFD 기반의 메트릭 텐서 $ \tilde{\rho}^{\nu\beta} $ 를 포함한 민코프스키 배경을 사용하며, 이는 곡률 뿐 아니라 분수차원에 의존한다.
• 메트릭 텐서가 분수차원의 기능으로 표현되는 수정된 아인슈타인 유형 방정식(예: 식 17)을 유도하며, 특이성을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간과 공간의 비정수적이고 위치 및 시간에 따라 변화하는 분수차원을 가진 시공간에서 맥스웰, 슈뢰딩거, 디рак, 아인슈타인의 표준 방정식은 어떻게 변형되는가?
• RQ2 지구 중력이나 원자핵 근처와 같은 약한 필드 영역에서 이러한 방정식의 주요 보정은 무엇인가?
• RQ3 분수차원이 1에서 크게 벗어나는 강한 필드 조건에서도 일반화된 방정식이 여전히 정칙하고 특이성이 없는가?
• RQ4 에너지 밀도 라그랑지안에서 유도된 분수차원에 따라 중력 방정식의 메트릭 텐서는 어떻게 수정되는가?
• RQ5 일반적인 라그랑지안 장 이론의 형식은 강한 필드 다중분수 시공간으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 분수차원이 정확히 1일 경우 일반화된 방정식은 표준 형태로 수렴하며, 기존 물리학과의 일관성을 확인한다.
• 지구 중력과 같은 약한 필드에서는 시간 분수차원에 대한 보정이 약 10⁻⁹로 나타나 표준 물리학과의 편차가 거의 없음을 시사한다.
• 원자 스케일 전기장에서는 분수차원에 대한 보정이 약 10⁻⁸ 정도로 나타나, 여전히 작지만 고정밀 실험에서 측정 가능할 수 있다.
• 강한 필드 영역에서는 방정식이 적분형 분수방정식으로 변형되며, 본질적으로 정칙하고 특이성이 없다.
• 일반화된 아인슈타인 방정식(식 17)의 메트릭 텐서는 분수차원의 기능으로 표현되며, 이는 라그랑지안 밀도에서 유도된 것으로, 자가일관된 기하장 이론을 이룬다.
• 이 프레임워크는 일반 라그랑지안 장 이론이 분수차원이 변화하는 강한 필드 다중분수 시공간에서도 적용 가능할 수 있음을 시사하며, 이는 기하학이 적절히 일반화되어야 한다는 전제를 수반한다.