[논문 리뷰] McKean-Vlasov SDE and SPDE with Locally Monotone Coefficients

Wei Hong, Hu Shanshan외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 09.

Climate Change Policy and Economics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태 및 분포 변수에서 국소 단조성 조건을 만족하는 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE 및 SPDE에 대해 강한 해와 약한 해의 잘 정의됨을 확립한다. 비국소성 문제를 극복하고, 약한 가정 하에 대규모 변동 원리(Large Deviation Principle)를 증명하며, 다공성 매체, 플라즈마, 다공성 매체, 2차원 유체역학 모델 등 다양한 모델로 결과를 확장하여 이전의 전역 리프시츠 또는 단조성 조건을 완화한다.

ABSTRACT

In this paper we mainly investigate the strong and weak well-posedness of a class of McKean-Vlasov stochastic (partial) differential equations. The main existence and uniqueness results state that we only need to impose some local assumptions on the coefficients, i.e. locally monotone condition both in state variable and distribution variable, which cause some essential difficulty since the coefficients of McKean-Vlasov stochastic equations typically are nonlocal. Furthermore, the large deviation principle is also derived for the McKean-Vlasov stochastic equations under those weak assumptions. The wide applications of main results are illustrated by various concrete examples such as the granular media equations, plasma type models, kinetic equations, McKean-Vlasov type porous media equations and Navier-Stokes equations. In particular, we could remove or relax some typical assumptions previously imposed on those models.

연구 동기 및 목표

• 상태 및 분포 변수에서 국소 단조성 조건을 만족하는 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE 및 SPDE에 대해 강한 해와 약한 해의 잘 정의됨을 확립하는 것.
• 전역 리프시츠 또는 단조성 조건을 완화함으로써 McKean-Vlasov 방정식의 본질적인 비국소성 문제를 해결하기 위한 프레임워크를 개발하는 것.
• 강한 국소 조건 하에서 이러한 방정식에 대해 대규모 변동 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 유도하는 것.
• 기존의 다공성 매체, 플라즈마, 운동론적, 다공성 매체 방정식에 대한 결과를 표준 가정을 제거하거나 완화함으로써 일반화하는 것.
• 유한차원 및 무한차원 설정에서 존재성, 유일성 및 LDP를 증명하기 위한 통합된 변분법 및 약한 수렴 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• 국소 단조성 조건을 다루기 위해 잘린 계수를 이용한 국소화 및 근사 기법을 사용하여 전역 리프시츠 성질을 갖는 근사 SDE의 수열을 구성하는 것.
• 경로별 유일성 하에서 약한 해로부터 강한 해를 도출하기 위해 수정된 Yamada-Watanabe 정리를 적용하는 것.
• 사전 추정 및 경로 공간에서의 콤���성에 기반한 약한 수렴 접근법을 사용하여 대규모 변동 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 증명하는 것.
• 특히 다공성 매체 및 유체역학 유형 방정식에 대해 힐버트 공간 내 SPDE에 대한 변분법 및 에너지 추정을 적응하는 것.
• 상태 및 분포 변수에서 국소 단조성 조건을 기반으로 한 프레임워크를 구축하여 전역 리프시츠 계수를 갖지 않는 경우에도 가능하도록 하는 것.
• 수렴의 분포 및 L^p 수렴을 보장하기 위해 Skorokhod 표현 및 Vitali의 수렴 정리를 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 및 분포 변수에서 국소 단조성 조건만을 만족하는 경우, McKean-Vlasov SDE에 대해 강한 해와 약한 해의 잘 정의됨을 확립할 수 있는가?
• RQ2 전역 리프시츠 또는 단조성 조건이 아닌 국소 단조성 조건 하에서 McKean-Vlasov SDE에 대해 대규모 변동 원리(Large Deviation Principle)가 성립하는가?
• RQ3 다양한 계수 조건 하에서, 예를 들어 확률적 다공성 매체 및 2차원 유체역학 시스템과 같은 SPDE에 대해 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 다공성 매체, 플라즈마, 나비에-스토크스 방정식과 같은 고전적 모델은 표준 전역 정규성 가정을 제거하거나 완화함으로써 어느 정도 일반화될 수 있는가?
• RQ5 국소 단조성 및 근사 기법을 활용하여 McKean-Vlasov 방정식의 비국소적 구조를 효과적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 상태 및 분포 변수에서 국소 단조성 조건을 만족하는 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 강한 해와 약한 해의 잘 정의됨을 증명하였으며, 이는 이전의 전역 가정에 비해 상당한 완화이다.
• 이 약한 국소 조건 하에서, 약한 수렴 접근법과 사전 추정에 기반해 McKean-Vlasov SDE에 대해 대규모 변동 원리(Large Deviation Principle)를 확립하였다.
• 이 프레임워크는 다공성 매체 방정식, 플라즈마 유형 모델, 운동론적 방정식, McKean-Vlasov 다공성 매체 방정식 등 다양한 모델에 적용 가능하며, 더 약한 가정 조건을 허용한다.
• SPDE의 경우, 국소 단조성 조건 하에서 변분 해의 존재성을 증명하였고, 에너지 추정을 통해 경로별 유일성을 확보하였다.
• 이전의 확률적 다공성 매체 및 2차원 유체역학 시스템 연구를 전역 리프시츠 또는 단조성 조건을 제거하거나 완화함으로써 확장하였다.
• 이 방법은 전역 리프시츠 성질이 없는 드리프트도 허용하며, 예를 들어 $ dX(t) = -X(t)^3 \big[\textstyle\bigint_{\mathbb{R}^d} |y|^p \mathcal{L}_{X(t)}(dy)\big] dt + X(t) dW(t) $ 와 같은 예시는 전역 단조성 조건을 만족하지 않지만 국소 단조성 조건을 만족한다.