[논문 리뷰] McKean-Vlasov SDEs with Drifts Discontinuous under Wasserstein Distance

Xing Huang, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 공간 변수에 대한 $L^p$-적분 가능성 조건과 분포 변수에 대한 $\mathbb{W}_0$ 또는 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$ ($\theta \geq 1$) 거리에 대한 리프시츠 조건을 만족하는 특이한 비연속성 드리프트를 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 존재성과 유일성을 확립한다. 주요 기여는 약한 위상에서 Zvonkin의 변환과 Krylov의 추정을 활용하여 연속성이 요구되던 기존 결과를 비연속 드리프트로 확장한 것이다.

ABSTRACT

Existence and uniqueness are proved for Mckean-Vlasov type distribution dependent SDEs with singular drifts satisfying an integrability condition in space variable and the Lipschitz condition in distribution variable with respect to $W_0$ or $W_0+W_θ$ for some $θ\ge 1$, where $W_0$ is the total variation distance and $W_θ$ is the $L^θ$-Wasserstein distance. This improves some existing results where the drift is either locally bounded in the space variable or continuous in the distribution variable with respect to the Wasserstein distance.

연구 동기 및 목표

• 공분포에 의존하는 SDE에 대해 강한 해와 약한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이때 드리프트는 분포 변수에 대해 비연속적이나, $L^p$-적분 가능성과 $\mathbb{W}_0$ 또는 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$ ($\theta \geq 1$) 거리에 대한 리프시츠 조건을 만족한다.
• 기존 문헌에서 요구된 분포 변수에 대한 연속성 조건을 총변량 거리와 워샤르스타인 거리에서 비연속성을 允허함으로써 이를 완화한다.
• 공간에서의 적분 가능성 조건과 분포에서의 리프시츠 조건($\mathbb{W}_0$ 또는 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$, $\theta \geq 1$)을 만족하는 드리프트에 대해 잘 정의됨 결과를 확장한다.
• 해의 법칙에 대한 비미분 가능성에 기반한 SDE에 대해 체계적인 프레임워크를 제공하며, 이는 평균장 이론 및 운동학적 모델에 관련된다.

제안 방법

• 약한 위상에서의 사전 추정을 도출하기 위해 SDE를 정규화하기 위해 Zvonkin의 변환을 사용한다.
• 전이 밀도를 제어하고 해의 모멘트 유계를 도출하기 위해 Krylov의 추정을 적용한다.
• 해의 법칙을 통해 정의된 사상 $\Phi^\gamma$를 이용한 법칙 흐름에 대한 고정점 추론을 수행한다.
• $\mathbb{W}_0$-리프시츠 드리프트의 경우, 공간 $\mathscr{P}_\theta$ 상에서 $\rho(\nu, \mu) = \sup_{t \in [0,t_0]} \|\nu_t - \mu_t\|_{TV}$ 를 사용한 확률측도 공간에서 수축 원리 적용.
• $\mathbb{W}_\theta$-리프시츠 드리프트의 경우, $\tilde{\rho}(\nu, \mu) = \sup_t \{ \|\nu_t - \mu_t\|_{TV} + \mathbb{W}_\theta(\nu_t, \mu_t) \}$ 를 사용하여 $C([0,t_0]; \mathscr{P}_\theta)$ 공간에서 수축성을 증명한다.
• 결과로 얻어진 적분 부등식에 그론월의 보조정리를 적용하여 초기 법칙의 변화에 대한 법칙 흐름의 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트가 $\mathbb{W}_0$ 또는 $\mathbb{W}_\theta$ 거리에서 분포 변수에 대해 비연속일 경우, McKean-Vlasov SDE에 대해 강한 해와 약한 해의 존재성과 유일성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 드리프트의 공간적 적분 가능성 조건과 분포에 대한 리프시츠 연속성 조건이 해의 존재성과 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Zvonkin의 변환과 Krylov의 추정을 어떻게 수정하여 분포에 의존하는 SDE에 비연속 드리프트를 다룰 수 있는가?
• RQ4 분포 변수에 대한 드리프트의 연속성 요구 조건을 $\mathbb{W}_1$-리프시츠 연속성 이상으로 얼마나 넓힐 수 있는가?
• RQ5 초기 법칙의 변화에 대한 법칙 흐름의 안정성은 $\mathbb{W}_0$ 및 $\mathbb{W}_\theta$ 거리로 어떻게 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 드리프트가 공간에서 $L^p$-적분 가능하고, 분포 변수에 대해 $\mathbb{W}_0$ 또는 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$ ($\theta \geq 1$) 거리에 대해 리프시츠 연속일 경우, McKean-Vlasov SDE에 대해 강해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 해의 법칙 $\mu_t = \mathscr{L}_{X_t}$ 는 짧은 시간 간격 $[0, t_0]$ 에서 총변량 노름에서 수축성을 보이며, 이때 $t_0 = \min\{T, 1/(K_1 K_3^2)\}$ 이다. 이는 $\mathbb{W}_0$-리프시츠 조건 하에서 성립한다.
• $\mathbb{W}_\theta$-리프시츠 드리프트의 경우, 법칙 흐름은 $\|\cdot\|_{TV} + \mathbb{W}_\theta$ 조합 거리에서 수축성을 보이며, 이는 $t_0 = 1/(2C)$ 까지 잘 정의됨을 의미한다. 여기서 $C$ 는 어떤 상수이다.
• 법칙 흐름의 안정성은 부등식 $\|P_t^*\mu_0 - P_t^*\nu_0\|_{TV}^2 \leq 2\|\mu_0 - \nu_0\|_{TV}^2 + \frac{K_1 K_3^2}{2} \int_0^t \|P_s^*\mu_0 - P_s^*\nu_0\|_{TV}^2 ds$ 를 통해 정량화되며, 이는 $\mathbb{W}_0$ 거리에서 지수 안정성을 암시한다.
• $\mathbb{W}_\theta$-리프시츠 드리프트의 경우, 안정성 추정식 $\|P_t^*\mu_0 - P_t^*\nu_0\|_{TV}^{2m} + \mathbb{W}_\theta(P_t^*\mu_0, P_t^*\nu_0)^{2m} \leq C'\{\|\mu_0 - \nu_0\|_{TV}^{2m} + \mathbb{W}_\theta(\mu_0, \nu_0)^{2m}\} + C' \int_0^t \cdots ds$ 가 성립하며, 이는 조합 거리에서 지수 안정성을 이끌어낸다.