[논문 리뷰] MDS codes with arbitrary dimensional hull and their applications

Gaojun Luo, Xiwang Cao|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 및 확장된 GRS 코드를 사용하여 임의의 차원을 가진 힐(hull)을 갖는 무한한 MDS 코드 가족을 구성한다. 힐 차원을 활용하여, 매개변수 조절이 가능한 새로운 무한한 MDS 엔트랑글먼트 보조 양자 오류정정 코드(EAQECC) 가족을 유도하며, 이는 실현 가능한 양자 코드 설계 범위를 크게 확장한다.

ABSTRACT

The hull of linear codes have promising utilization in coding theory and quantum coding theory. In this paper, we study the hull of generalized Reed-Solomon codes and extended generalized Reed-Solomon codes over finite fields with respect to the Euclidean inner product. Several infinite families of MDS codes with arbitrary dimensional hull are presented. As an application, using these MDS codes with arbitrary dimensional hull, we construct several new infinite families of entanglement-assisted quantum error-correcting codes with flexible parameters.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 및 확장된 GRS 코드를 사용하여 임의의 차원을 가진 힐을 갖는 MDS 코드를 구성하는 것.
• 기존의 MDS 코드 구성 방식에서 힐 차원 제어가 가능한 점을 보완함으로써, 양자 코드 설계에 핵심적인 역할을 하는 힐 차원에 대한 제어 기능을 제공하는 것.
• 조절 가능한 힐 차원을 갖는 이러한 MDS 코드를 활용하여 엔트랑글먼트 보조 양자 오류정정 코드(EAQECC)의 새로운 무한한 가족을 생성하는 것.
• 힐 차원을 통한 방법을 통해 EAQECC에서 요구되는 최대 엔트랑글먼트 상태의 수를 체계적으로 결정하는 것.
• 사전 공유된 엔트랑글먼트를 통한 이중성 제약 완화를 통해 MDS 코드의 양자정보이론에서의 적용 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• 평가 점수와 가중치를 정교하게 선택하여 GRS 및 확장된 GRS 코드로부터 MDS 코드를 구성함으로써 힐 차원을 제어하는 것.
• 유한체 위에서 유클리드 내적을 사용하여 힐을 코드와 그 쌍대의 교차로 정의하는 것.
• 보간 다항식과 대칭 함수를 활용한 대수 기법을 적용하여 결과 코드가 MDS이면서 특정한 힐 차원을 갖도록 보장하는 것.
• 힐 차원을 기반으로 EAQECC에서 요구되는 최대 엔트랑글먼트 상태의 수를 유도하며, 공유 벨 상태 수는 힐 차원과 동일하다는 공식을 사용하는 것.
• 두 가지 구성 가족(정리 4.7 및 4.8)을 수립하여, 힐 차원 $s$를 기반으로 하여 매개변수 $[[n,k_1,d_1;c_1]]_q$ 및 $[[n,k_2,d_2;c_2]]_q$를 갖는 MDS EAQECC를 생성하는 것.
• 생성된 코드의 MDS 성질과 힐 차원을 생성자 행렬과 쌍대 코드의 교차 분석을 통해 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위에서 GRS 및 확장된 GRS 코드로부터 임의의 차원을 가진 힐을 갖는 MDS 코드를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 선형 코드의 힐 차원이 엔트랑글먼트 보조 양자 오류정정 코드에서 요구되는 최대 엔트랑글먼트 상태 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 GRS 코드의 매개변수에 대해 특정한 힐 차원을 달성하면서도 MDS 성질을 유지하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 구성 방법이 매개변수 조절이 가능한 무한한 MDS EAQECC 가족을 생성할 수 있는가?
• RQ5 결과로 도출된 EAQECC의 매개변수 $k_1, d_1, c_1$ 및 $k_2, d_2, c_2$와 힐 차원 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 GRS 코드에 대해 힐 차원 $s$가 0에서 $k-1$까지, 확장된 GRS 코드에 대해선 $n-k$까지 임의로 설정 가능한 무한한 MDS 코드 가족을 구성한다.
• $q=16$, $n=17$, $k=17-s$일 때, 구성은 매개변수 $[[17,k-s,n-k+1;n-k-s]]_{16}$를 갖는 MDS EAQECC를 생성하며, 이는 $s$에 대한 유연성을 보여준다.
• $q=81$, $n=9$일 때, 구성은 $k=2$, $s=1$이면 $[[9,1,8,6]]_{81}$, $k=2$, $s=2$이면 $[[9,0,8,5]]_{81}$을 생성하여 $s$의 전 범위를 커버함을 보여준다.
• $q=27$, $n=13$일 때, $k=2$, $s=1$이면 $[[13,1,12,10]]_{27}$, $k=2$, $s=2$이면 $[[13,0,12,9]]_{27}$를 생성하여 방법의 확장성과 타당성을 확인한다.
• 힐 차원 $s$는 EAQECC에서 요구되는 최대 엔트랑글먼트 벨 쌍의 수를 직접 결정하며, 두 구성 가족에서 각각 $c_1 = n-k-s$ 및 $c_2 = k-s$로 표현된다.
• 이 방법은 $c_1 > 0$ 및 $c_2 > 0$인 경우뿐만 아니라 $c_1 = 0$ 또는 $c_2 = 0$인 경우도 포함하여, 모든 가능한 엔트랑글먼트 요구 조건을 커버할 수 있다.