[논문 리뷰] Mean Curvature Flow of Spacelike Graphs in Pseudo-Riemannian Manifolds

Guanghan Li, Isabel M. C. Salavessa|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 04.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 14인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 리만다이언만이 곱으로 이루어진 편-리만다이언다이언만에서의 시공간적 그래프의 평균 곡률 흐름을 연구한다. 도메인 다양체의 섹션 곡률이 목표 다양체의 섹션 곡률을 지배하는 곡률 조건 하에서, 흐름은 시공간성을 유지하고 모든 시간 동안 존재하며, 전적으로 지오데식 또는 일정한 사상으로 수렴한다. 이는 컴팩트 다양체 사이의 사상에 대한 호모토피 분류 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Abstract: Let (Σ1,g1) and (Σ2,g2) be two compact Riemannian manifolds with sectional curvatures K1 and K2 and a smooth map f: Σ1 → Σ2. On Σ1 × Σ2 we consider the pseudo-Riemannian metric g1 −g2, and assume the graph of f is a spacelike submanifold Γf. We consider the evolution of Γf in Σ1×Σ2 by mean curvature flow and show that if K1(p) ≥ max{0,K2(q)} for any p ∈ Σ1 and q ∈ Σ2 then the flow remains a spacelike graph and exists for all time and converges at infinity to the graph of a totally geodesic map. Moreover, if K1> 0 somewhere, the flow converges to the graph of a constant map. As a consequence we prove that for any arbitrary compact Riemannian manifolds Σi, i = 1,2, if K1> 0 everywhere then there exist a constant ρ ≥ 0 that depends only on K1 and K2 such that any map f: Σ1 → Σ2 with f ∗ g2 < ρ −1 g1 is homotopic to a constant one. This largely extends known results with constant Ki ′ s. 1

연구 동기 및 목표

• 편-리만다이언만에서의 곱 다양체 상에서의 시공간적 그래프의 평균 곡률 흐름의 진화를 분석하는 것.
• 평균 곡률 흐름이 시공간 조건과 그래픽성 유지 조건을 만족하는 조건을 규명하는 것.
• 흐름의 장기 존재성과 전적으로 지오데식 또는 일정한 사상으로 수렴하는 행동을 확립하는 것.
• 곡률 및 에너지 한계를 바탕으로 컴팩트 리만다이언만 사이의 사상에 대한 호모토피 분류 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• Σ1 × Σ2에 정의된 편-리만다이언만 메트릭 g1 − g2를 고려한다.
• 매끄러운 사상 f: Σ1 → Σ2의 시공간적 그래프 Γf를 매장된 부분다양체로 정의한다.
• Γf를 환경 편-리만다이언만 내에서 평균 곡률 흐름으로 진화시킨다.
• 모든 p ∈ Σ1, q ∈ Σ2에 대해 K1(p) ≥ max{0, K2(q)}인 곡률 조건을 사용하여 진화를 제어한다.
• 최대 원리 및 곡률 추정을 활용하여 시공간성과 그래픽성의 유지성을 증명한다.
• 모든 지오데식 사상 f∗g2 < ρ−1g1인 사상이 일정한 사상과 호모토픽임을 보여, 호모토피 결과를 도출한다. 여기서 ρ는 K1과 K2에만 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편-리만다이언만 곱 다양체에서의 시공간적 그래프의 평균 곡률 흐름이 어떤 곡률 조건에서 시공간성과 그래픽성을 유지하는가?
• RQ2 제시된 곡률 가정 하에서 평균 곡률 흐름이 모든 시간 동안 존재하고 전적으로 지오데식 사상으로 수렴하는가?
• RQ3 Σ1의 일부에서 K1 > 0이라면, 흐름의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 곡률 조건을 이용하여 컴팩트 리만다이언만 사이의 사상에 대한 호모토피 분류 결과를 유도할 수 있는가?
• RQ5 f∗g2 < ρ−1g1이면 f가 일정한 사상과 호모토픽임을 보장하는, K1과 K2에만 의존하는 최적의 상수 ρ는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 p ∈ Σ1 및 q ∈ Σ2에 대해 K1(p) ≥ max{0, K2(q)}이면, 시공간적 그래프 Γf의 평균 곡률 흐름은 모든 시간 동안 시공간성과 그래픽성을 유지한다.
• 제시된 곡률 조건 하에서, 흐름은 무한대에서 전적으로 지오데식 사상의 그래프로 수렴한다.
• Σ1의 일부에서 K1 > 0이라면, 흐름은 일정한 사상의 그래프로 수렴한다.
• 모든 곳에서 K1 > 0인 컴팩트 리만다이언만 Σ1과 Σ2에 대해, K1과 K2에만 의존하는 상수 ρ ≥ 0이 존재하여, f∗g2 < ρ−1g1인 모든 사상 f는 일정한 사상과 호모토픽이다.
• 이 결과는 비상수 섹션 곡률을 允許하고 명시적인 곡률에 의존하는 임계값 ρ를 제공함으로써 이전의 호모토피 분류 정리들을 일반화한다.
• K1 ≥ max{0, K2} 조건은 흐름의 장기 존재성, 그래픽성 및 수렴성을 보장하는 데에 충분하다.