[논문 리뷰] Mean-Field Backward Doubly Stochastic Differential Equations and Applications

Tianxiao Wang, Qingfeng Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평균장 뒤집힌 이중 확률 미분 방정식(MF-BDSDEs)을 도입하여 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 비국소적 확률적 편미분 방정식(SPDEs)에 대한 확률적 해석을 제공하고, MF-BDSDEs의 최적 제어 문제에 대해 폰트리아긴 유형 최대원리(Pontryagin-type maximum principle)를 유도하며, 선형 제곱 제어 문제를 통해 이를 구체화한다.

ABSTRACT

Mean-field backward doubly stochastic differential equations (MF-BDSDEs, for short) are introduced and studied. The existence and uniqueness of solutions for MF-BDSDEs is established. One probabilistic interpretation for the solutions to a class of nonlocal stochastic partial differential equations (SPDEs, for short) is given. A Pontryagin's type maximum principle is established for optimal control problem of MF-BDSDEs. Finally, one backward linear quadratic problem of mean-field type is discussed to illustrate the direct application of above maximum principle.

연구 동기 및 목표

• MF-BDSDEs를 도입하고 연구함으로써 기존의 BDSDEs와 MF-BSDEs를 확장한다.
• 적절한 조건 하에서 MF-BDSDEs의 해가 존재하고 유일함을 증명한다.
• 비국소적 확률적 편미분 방정식(SPDEs)의 해에 대한 확률적 해석을 제공한다.
• MF-BDSDEs에 의해 지배되는 최적 제어 문제에 대해 폰트리아긴 유형 최대원리를 도출한다.
• 선형 제곱 제어 문제를 통해 최대원리의 적용을 구체화한다.

제안 방법

• 해의 해와 그 이중 과정의 공통 분포에 의존하는 계수의 조건부 기댓값을 포함하는 방정식으로서 MF-BDSDEs를 수식화한다.
• 적절한 확률 공간에서 고정점 원리와 사전 추정을 활용하여 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 이중 마링갈라 표현과 뒤집힌 확률적 미적분을 적용하여 수반 방정식과 필요 최적 조건을 도출한다.
• 수반 과정과 상태 및 제어의 변형 곱에 이토의 공식을 적용하여 최대원리를 도출한다.
• 수반 과정을 포함하는 해밀토니안 시스템을 구성하고 변분 부등식을 활용하여 최적 제어를 특성화한다.
• 편향된 제어와 기준 제어 하에서 비용 기능의 차이를 비교하여 최적 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평균장 뒤집힌 이중 확률 미분 방정식이 어떤 조건에서 유일한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 MF-BDSDEs의 해는 비국소적 확률적 편미분 방정식의 해와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ3 MF-BDSDE에 의해 지배되는 확률적 제어 문제에서 최적성의 필요 조건은 무엇인가?
• RQ4 MF-BDSDEs에 대해 도출된 최대원리는 고전적 확률적 제어 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이론적 최대원리는 선형 제곱 문제와 같은 구체적인 제어 문제를 해결하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 계수에 대한 표준 리프시츠 조건과 적분 가능성 조건 하에서 MF-BDSDEs의 해가 존재하고 유일함이 입증된다.
• MF-BDSDEs의 해는 해의 분포 기댓값을 포함하는 비국소적 SPDEs의 해에 대한 확률적 표현을 제공한다.
• MF-BDSDEs의 최적 제어 문제에 대해 수반 과정과 해밀토니안 시스템을 포함하는 폰트리아긴 유형 최대원리가 도출된다.
• 최대원리는 해밀토니안과 수반 방정식을 통해 최적 제어가 특성화되는 뒤집힌 선형 제곱 제어 문제에 적용된다.
• 편향된 제어와 기준 제어 하에서 비용 기능의 차이가 비음성을 보임을 통해 최적 조건이 검증되며, 후보 제어의 최적성이 확인된다.
• 기존의 BSDEs와 MF-BSDEs 이론을 이중 확률적이고 평균장 설정으로 확장하여 확률적 제어 이론을 풍부히 한다.