[논문 리뷰] Mean-Field Delayed BSDEs with Jumps

Nacira Agram|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 지연 상수 δ까지의 과거 값에 따라 의존하는 해 과정의 생성자와 점프를 포함하는 평균장 후행 확률미분방정식(MF-BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 확립한다. 가중 거리 공간에서의 고정점 추론을 통해, 리프시츠 조건이 만족될 경우 충분히 작은 δ와 유한한 시간 영역 T에 대해 유일한 해가 존재함을 증명한다. 생성자와 종료 조건에 대해 리프시츠 조건이 만족된다면 해가 존재하고 유일함을 보장한다.

ABSTRACT

We establish sufficient conditions for the existence and uniqueness of mean-field backward stochastic differential equations with time delayed generator in the sense that at t, the generator may depend on previous values up to a delay constant δ not on the hole past as in Delong and Imkeller [10], [13]. For sufficiently small delay constant δ and for any finite time horizon, we get a unique solution.

연구 동기 및 목표

• 지연된 생성자와 점프를 포함하는 평균장 후행 확률미분방정식(MF-BSDE)을 확장한다.
• 해 과정의 현재 값뿐만 아니라 과거 값에 의존하는 생성자를 갖는 BSDE의 해를 다루는 데 도전한다.
• 지연 및 평균장 의존성과 점프를 포함한 경우에 대해 해의 존재성과 유일성을 위한 충분조건을 확립한다.
• 이전의 지연된 BSDE 연구를 일반화하여 전체 과거 경로가 아닌 유한한 지연 δ로만 의존성을 제한한다.
• 정보 지연을 겪는 에이전트가 존재하는 금융 및 확률적 제어 분야에 적용 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 브라운 운동과 레비 과정으로 구성된 보상된 포아송 랜덤 측도를 갖는 평균장 지연 BSDE(MF-DBSDE)를 수립한다.
• 해 과정의 성장률을 제어하기 위해 지수 가중 요소 e^{βt}를 사용하는 가중 거리 공간을 도입한다.
• 적응 과정의 완비 거리 공간에서의 고정점 추론을 통해 존재성과 유일성을 증명한다.
• 두 해의 차이의 제곱 노름에 이토의 공식을 적용하여 사전 추정치를 도출한다.
• 이토 공식 전개에서 발생하는 교차항을 제한하기 위해 일반화된 얀의 부등식을 적용한다.
• 지연 δ가 충분히 작을 경우 수축 사상 조건이 성립함을 보여, 고유한 고정점이 존재함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자가 해 과정의 유한한 지연 δ까지의 과거 값에 의존할 경우, 점프를 포함하는 평균장 지연 BSDE가 고유한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 지연 δ가 충분히 작을 경우, 점프와 평균장 성분이 존재하더라도 유한한 시간 영역 T에 대해 해의 존재성과 유일성이 보장될 수 있는가?
• RQ3 포아송 랜덤 측도를 갖는 레비 과정의 포함 여부가 지연된 평균장 BSDE의 해법에 미치는 영향은 확산만 존재하는 경우와 비교해 어떻게 다를까?
• RQ4 유한 지연 vs 전체 경로 의존성의 지연 구조가 점프를 포함하는 MF-DBSDE의 해법에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 점프와 유한 지연을 포함하는 MF-DBSDE에 대해 수축 사상 원리가 적용 가능할 수 있으며, δ에 대해 어떤 조건에서 고유한 해가 도출되는가?

주요 결과

• 지연 δ가 충분히 작을 경우, 유한한 시간 영역 T에 관계없이 점프를 포함하는 MF-DBSDE에 대해 고유한 해가 존재한다.
• 생성자와 종료 조건에 대해 리프시츠 조건이 만족될 경우, 해가 보장되며 생성자는 (Y, Z, K)의 과거 값과 해 과정의 법칙에 의존한다.
• 수축 사상 원리는 지수 인자 e^{βt}를 갖는 가중 거리 공간을 통해 적용되어 반복적 방법의 수렴을 보장한다.
• 유일성에 대한 핵심 조건은 e^{-βr}의 적분값이 [-δ, 0]에서 1/ρ와 곱해졌을 때 1보다 작아지는 것으로, 이는 작은 δ에서 성립한다.
• 이토의 공식과 일반화된 얀의 부등식을 활용하여 두 해의 차이를 제한함으로써 가중 L² 공간에서 수축이 발생함을 입증한다.
• 아그람과 올센달이 도입한 측도의 힐버트 공간을 적용하여 해 과정의 법칙을 통한 평균장 의존성을 허용한다.