[논문 리뷰] Mean Field Exponential Utility Game: A Probabilistic Approach

Guanxing Fu, Xizhi Su외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 13.

Economic theories and models참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 에이전트들이 개인 충격과 공통 충격에 의해 영향을 받는 두 가지 위험 자산을 관리하면서 종료 wealth와 상대 성과를 모두 최적화하는 N-플레이어 및 평균장 지수 utility 게임을 연구한다. 확률적 접근을 통해 N-플레이어 게임에 대한 이중 성장이 있는 다차원 FBSDE와 평균장 극한에 대한 평균장 FBSDE의 잘 정의됨을 입증하고, N→∞일 때 균형의 수렴성을 증명한다.

ABSTRACT

We study an $N$-player and a mean field exponential utility game. Each player manages two stocks; one is driven by an individual shock and the other is driven by a common shock. Moreover, each player is concerned not only with her own terminal wealth but also with the relative performance of her competitors. We use the probabilistic approach to study these two games. We show the unique equilibrium of the $N$-player game and the mean field game can be characterized by a novel multi-dimensional FBSDE with quadratic growth and a novel mean-field FBSDEs, respectively. The well-posedness result and the convergence result are established.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 시장 역학 하에서 절대적 성과와 상대적 성과를 모두 최적화하는 평균장 지수 utility 게임을 분석한다.
• 이중 성장과 유계가 아닌 종료 조건을 가진 새로운 다차원 FBSDE를 사용하여 N-플레이어 게임의 유일한 내쉬 균형을 특성화한다.
• 상대 성과 요소 θ에 대한 온건한 가정 하에 평균장 게임에서 균형의 존재성과 유일성을 새로운 평균장 FBSDE를 통해 입증한다.
• N→∞일 때 N-플레이어 균형이 평균장 균형으로 수렴함을 증명한다.
• 수익률이 소음에 독립적일 경우 폐형 해를 유도하며, 상수 또는 결정론적 설정을 초월한다.

제안 방법

• 각 플레이어가 개인 및 공통 브라운 운동에 의해 영향을 받는 두 가지 위험 자산을 관리하는 지수 utility와 상대 성과 인centive를 포함한 N-플레이어 게임과 평균장 게임을 수립한다.
• 이전 연구에서 사용된 동적 프ogramming 원리들을 피하기 위해 마팅게일 최적성 원리를 적용하여 균형의 후방-전방 확률 미분 방정식(FBSDE) 특성화를 도출한다.
• 확률 기법과 BMO 추정치를 사용하여 이중 성장과 가능성이 무한한 종료 조건을 가진 다차원 FBSDE의 잘 정의됨을 입증한다.
• 균형 전략과 자산 가치 과정의 L² 차이를 분석하여 N-플레이어 균형이 평균장 균형으로 수렴함을 입증하며, 균일한 유계성과 BMO 추정치를 활용한다.
• 상대 성과 요소 θ에 대한 온건한 가정 하에 평균장 FBSDE를 해결하고, 약한 상호작용(작은 θ) 조건에서 θ가 가장 큰 σ-대칭에 대해 가측 가능함을 허용한다.
• 수익률이 기저 소음에 독립적일 경우 FBSDE의 명시적 해를 사용하여 N-플레이어 및 평균장 게임에 대한 폐형 해를 도출하고, 균형 조건과의 일致성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대 성과 인centive가 있는 N-플레이어 지수 utility 게임의 유일한 내쉬 균형은 비마르코프, 비정수 설정에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 N→∞일 때 N-플레이어 게임 균형과 평균장 게임 균형 사이의 관계는 무엇이며, 수렴이 성립하는가?
• RQ3 게임에서 유도된 평균장 FBSDE는 상대 성과 요소 θ에 대한 일반적인 가정 하에 국소적으로 해를 가질 수 있는가?
• RQ4 상수 또는 결정론적 계수를 초월하여 N-플레이어 및 평균장 게임에 대해 폐형 해를 도출할 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ5 특히 마팅게일 최적성 원리에 기반한 확률적 접근은 동적 프로그래밍 방법에 비해 균형을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• N-플레이어 게임의 유일한 균형은 이중 성장과 유계가 아닌 종료 조건을 가진 새로운 다차원 FBSDE로 특성화되며, BMO 및 L² 적분 가능성 조건을 만족하는 적응 과정 공간에서 잘 정의됨이 입증된다.
• 평균장 게임의 균형은 새로운 평균장 FBSDE로 특성화되며, 상대 성과 요소 θ에 대한 온건한 가정 하에 전역적으로 잘 정의됨이 입증된다.
• N→∞일 때 N-플레이어 균형은 L² 수렴을 보이며, 수렴 속도는 θ의 유계성과 변동성 계수에 따라 달라진다.
• 수익률이 기저 소음에 독립적일 경우, N-플레이어 및 평균장 게임에 대한 폐형 해가 도출되며, 이는 이전의 상수 또는 결정론적 설정을 초월한다.
• 포지션 전략과 자산 가치 과정의 수렴 결과를 입증하여, N이 증가함에 따라 균형 전략 간의 차이가 L²에서 사라짐을 보였다.
• 핵심 기술적 기여로는 BMO 적분 가능성 조건을 만족하는 드라이버의 제곱근에 대해 이중 성장과 유계가 아닌 종료 조건을 가진 BSDE의 존재성과 유일성을 입증한 것으로, 이는 FBSDE를 제어하는 데 사용된다.