[논문 리뷰] Mean-square convergence rates of implicit Milstein type methods for SDEs with non-Lipschitz coefficients

Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비글로벌 리프시츠 계수를 갖는 확률미분방정식(SDE)을 위한 이중 암시적 밀스타인 유형의 방법족을 제안한다. 이 방법은 드리프트 및 확산 항을 모두 암시적으로 처리하기 위해 두 개의 매개변수(θ, η)를 사용한다. 이 방법은 조건을 완화한 상황에서도 평균제곱수렴률 1을 달성하며, 헤스턴 3/2 및 아이트-사할라 금리 모델을 포함한 세 가지 금융 SDE 모델에서 최적의 수렴성과 양수성 유지가 입증되었다.

ABSTRACT

A class of implicit Milstein type methods is introduced and analyzed in the present article for stochastic differential equations (SDEs) with non-globally Lipschitz drift and diffusion coefficients. By incorporating a pair of method parameters $θ, η\in [0, 1]$ into both the drift and diffusion parts, the new schemes are indeed a kind of drift-diffusion double implicit methods. Within a general framework, we offer upper mean-square error bounds for the proposed schemes, based on certain error terms only getting involved with the exact solution processes. Such error bounds help us to easily analyze mean-square convergence rates of the schemes, without relying on a priori high-order moment estimates of numerical approximations. Putting further globally polynomial growth condition, we successfully recover the expected mean-square convergence rate of order one for the considered schemes with $θ\in [ frac12, 1], η\in [0, 1]$. Also, some of the proposed schemes are applied to solve three SDE models evolving in the positive domain $(0, \infty)$. More specifically, the particular drift-diffusion implicit Milstein method ($ θ= η= 1 $) is utilized to approximate the Heston $ frac32$-volatility model and the stochastic Lotka-Volterra competition model. The semi-implicit Milstein method ($θ=1, η= 0$) is used to solve the Ait-Sahalia interest rate model. Thanks to the previously obtained error bounds, we reveal the optimal mean-square convergence rate of the positivity preserving schemes under more relaxed conditions, compared with existing relevant results in the literature. Numerical examples are also reported to confirm the previous findings.

연구 동기 및 목표

• 비글로벌 리프시츠 계수를 갖는 SDE에 대해 안정적인 수치적 방법을 개발함으로써, 기존의 올리버-마르야모 방법이 발산하는 문제를 해결하고자 한다.
• 특히 금융 모델에서 양수성 요구 사항이 있는 경우, 강성 또는 초선형 SDE에서의 명시적 방법에 대해 평균제곱수렴 보장이 부족한 문제를 해결하고자 한다.
• 수치적 근사의 고차모멘트 추정이 필요 없이도 양수성을 유지하고 최적 수렴률을 달성하는 암시적 밀스타인 유형의 방법을 설계하고자 한다.
• 기존 연구보다 더 약한 조건 하에서도 수렴 이론을 수립함으로써, 특히 양수성 유지 방법에 대해 더 강력한 이론적 기반을 마련하고자 한다.
• 헤스턴 3/2, 스토하스틱 로트카-볼테라, 아이트-사할라 금리 모델을 포함한 세 가지 벤치마크 SDE 모델에 대한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하고자 한다.

제안 방법

• 이중 암시적 밀스타인 유형의 스킴을 제안하며, θ, η ∈ [0,1]로 매개변수화되어 드리프트 f(Y) 및 확산 g(Y) 항을 모두 암시적으로 처리한다.
• 이중 효과를 반영하기 위해 ΔW_n 및 이중 이토 적분 I_{j1,j2}^{tn,tn+1}을 포함하여 올리버-마르야모 방법보다 정확도를 향상시킨다.
• 드리프트와 확산에 각각 θ와 η가 암시성 정도를 조절하는 반의미적 구성 방식을 사용하여 안정성과 양수성을 확보한다.
• 오차 분석은 수치 근사의 사전 모멘트 추정에 의존하지 않고 정확한 해에만 기반한 경계를 통해 수행된다.
• 계수에 대한 전역 다항성장 조건 하에서 이론적 수렴성을 확립하였으며, θ ∈ [1/2,1], η ∈ [0,1]일 경우 평균제곱수렴률 1을 회복할 수 있다.
• 특정 경우(예: θ=η=1 및 θ=1, η=0)에 대해 명시적 해법이 가능함을 입증하여, 양수 영역 SDE에 대한 실용적 구현을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비글로벌 리프시츠 계수를 갖는 SDE에 대해, 수치 근사의 사전 모멘트 추정이 필요 없이도 암시적 밀스타인 유형의 방법이 평균제곱수렴률 1을 달성할 수 있는가?
• RQ2 초선형 성장이 있는 SDE에서 수렴성과 양수성 유지가 보장되기 위한 계수 및 방법 매개변수(θ, η)의 조건은 무엇인가?
• RQ3 강성 있는 SDE에 대해 기존의 명시적 또는 단일 암시적 방법과 비교했을 때, 제안된 이중 암시적 스킴은 수렴률과 안정성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 약화된 가정 하에서도 양수성 유지 스킴에 대해 이론적 수렴률 1이 엄밀히 회복되고 수치적으로 확인될 수 있는가?
• RQ5 헤스턴 3/2 변동성 모델 및 아이트-사할라 금리 모델과 같은 실제 금융 모델에서 이 스킴의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 헤스턴 3/2 변동성 모델에 대해 θ=η=1인 제안된 이중 암시적 밀스타인 방법은 조건을 완화한 상황에서도 평균제곱수렴률 1을 달성한다.
• 스토하스틱 로트카-볼테라 경쟁 모델에 대해 동일한 스킴은 양수성을 유지하며 평균제곱수렴률 0.9923을 달성하여 이론적 예측을 확인한다.
• 아이트-사할라 금리 모델에 적용된 반의미적 밀스타인 스킴(θ=1, η=0)은 표준 케이스에서 수렴률 0.9798, 임계 케이스에서 1.0129를 기록하였으며, 이는 모두 수렴률 1과 일치한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 헤스턴 3/2 및 스토하스틱 LV 모델에 대해 10,000개의 샘플 경로 전반에서 모든 스킴이 양수성을 유지함을 확인하였다.
• 오차 분석 프레임워크는 사전 고차모멘트 추정에 의존하지 않아, 비리프시츠 SDE에 대한 더 단순한 수렴 증명이 가능하다.
• 이 결과는 이전 문헌보다 더 엄격하지 않은 가정 하에서도 이러한 모델에서 양수성 유지 스킴에 대해 최적의 수렴률을 달성한 최초의 성과이다.