[논문 리뷰] Mean-Variance Policy for Discrete-time Cone Constrained Markets: The Consistency in Efficiency and Minimum-Variance Signed Supermartingale Measure

Xiangyu Cui, Duan Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 사전에 약속된 효율 정책과 최소 분산 부호 초마르팅글 메저(VSSM)를 연결함으로써 이산시간 원추 제약 시장에서 시간에 일관된 평균-분산 포트폴리오 선택을 위한 완전한 분석적 프레임워크를 수립한다. 이는 정책이 효율성에서 시간에 일관되다(TCIE)임이 유일하게 VSSM의 밀도의 조건부 기대값이 음이 아닌지, 또는 음수 값으로 일정하게 유지되는지에 따라 결정됨을 증명하며, 포트폴리오 제약 조건을 통해 TCIE 모델을 체계적으로 구성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

The discrete-time mean-variance portfolio selection formulation, a representative of general dynamic mean-risk portfolio selection problems, does not satisfy time consistency in efficiency (TCIE) in general, i.e., a truncated pre-committed efficient policy may become inefficient when considering the corresponding truncated problem, thus stimulating investors' irrational investment behavior. We investigate analytically effects of portfolio constraints on time consistency of efficiency for convex cone constrained markets. More specifically, we derive the semi-analytical expressions for the pre-committed efficient mean-variance policy and the minimum-variance signed supermartingale measure (VSSM) and reveal their close relationship. Our analysis shows that the pre-committed discrete-time efficient mean-variance policy satisfies TCIE if and only if the conditional expectation of VSSM's density (with respect to the original probability measure) is nonnegative, or once the conditional expectation becomes negative, it remains at the same negative value until the terminal time. Our findings indicate that the property of time consistency in efficiency only depends on the basic market setting, including portfolio constraints, and this fact motivates us to establish a general solution framework in constructing TCIE dynamic portfolio selection problem formulations by introducing suitable portfolio constraints.

연구 동기 및 목표

• 동적 포트폴리오 선택에서 사전에 약속된 평균-분산 정책의 효율성에서의 시간 비일관성 문제를 해결하기 위해.
• 이산시간 원추 제약 시장에서 사전에 약속된 평균-분산 정책이 효율성에서 시간에 일관되다(TCIE)가 되는 조건을 규명하기 위해.
• 적절한 포트폴리오 제약 조건을 도입함으로써 시간에 일관된 동적 포트폴리오 선택 모델을 구성하기 위한 일반적 해결 프레임워크를 수립하기 위해.
• 비제약 시장에서의 분산 최적 부호 마르팅글 메저 개념을 제약 시장으로 확장하고, 그 반분석적 표현을 유도하기 위해.

제안 방법

• 이산시간 원추 제약 시장에서 사전에 약속된 효율 정책의 반분석적 표현을 유도하기 위해.
• 비제약 시장에서의 분산 최적 부호 마르팅글 메저를 일반화하여 제약 시장에서 최소 분산 부호 초마르팅글 메저(VSSM)를 도입하고 정의하기 위해.
• 원래 확률 측도에 대한 VSSM 밀도의 조건부 기대값을 분석함으로써 TCIE를 특성화하기 위해.
• 현재 자산 수준에 따라 효율적 포트폴리오 $\mathbf{K}_t^+$ 와 비효율적 포트폴리오 $\mathbf{K}_t^-$ 사이를 전환하는 두 조각 선형 형태의 최적 정책을 수립하기 위해.
• 동적 프로그래밍과 역순 추론을 사용하여 전역 목표와 국지 목표 간의 일관성을 확보하기 위해.
• TCIE 성질을 VSSM 밀도의 조건부 기대값의 부호와 안정성에 직접적으로 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산시간 원추 제약 시장에서 사전에 약속된 평균-분산 정책이 효율성에서 시간에 일관되다(TCIE)가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 제약 조건이 있는 시장에서 최소 분산 부호 초마르팅글 메저(VSSM)는 TCIE 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 동적 평균-분산 포트폴리오 선택에서 TCIE를 강제하기 위해 포트폴리오 제약 조건을 체계적으로 설계할 수 있는가?
• RQ4 원추 제약 시장에서 사전에 약속된 효율 정책의 평균-분산 정책의 분석적 구조는 무엇인가?
• RQ5 독립적인 수익률 가정 하에서도 최적 정책이 미래 시장 조건에 의존하는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 사전에 약속된 이산시간 효율 정책은 VSSM 밀도의 조건부 기대값이 음이 아닌지, 또는 한 번 음수가 되면 종료 시점까지 그 값이 일정하게 유지되는 경우에만 효율성에서 시간에 일관되다(TCIE)가 된다.
• 최적 정책은 두 조각 선형 형태를 취하며, 투자자의 현재 자산 수준에 따라 효율적 포트폴리오 $\mathbf{K}_t^+$ 와 비효율적 포트폴리오 $\mathbf{K}_t^-$ 사이를 전환한다.
• 반분석적으로 도출된 VSSM 밀도는 투자자의 자산 수준과는 무관하게 시장의 초과 수익률 분포와 포트폴리오 제약 조건의 집합에만 의존한다.
• TCIE 성질은 투자자의 초기 자산이나 위험 선호도와는 무관하게 시장의 기본 구조, 즉 제약 조건과 수익률 통계에 의해 완전히 결정된다.
• 적절한 원추 제약 조건을 도입하면 효율성에서의 시간 비일관성을 제거하면서도 전역 성능과 국지 성능 사이의 유리한 균형을 유지할 수 있다.
• 이 프레임워크는 적절한 포트폴리오 제약 조건을 강제함으로써 시간에 일관된 동적 평균-분산 모델을 체계적으로 구성할 수 있는 일반적인 방법을 제공하며, 동적 포트폴리오 이론에서 오랫동안 남아 있던 문제에 대한 체계적인 해결책을 제시한다.