[논문 리뷰] Measurable versions of the Lov\'{a}sz Local Lemma and measurable graph colorings.

Anton Bernshteyn|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 25.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 표준 보렐 공간 위의 군 작용에 대해 측정 가능하고 보렐 버전의 로바슈 국소 렘마(Lovász Local Lemma, LLL)를 수립하며, 국소 유한성 또는 이동 작용 구조 하에서 거의 모든 곳에서 제약 조건을 만족하는 측정 가능 색칠을 구성할 수 있음을 보여준다. 주요 결과로는 자유 군에 의해 생성된 이동 그래프의 측정 가능 색수에 대한 점점 더 날카운 상한을 제시하며, 리즈와 나자로프의 질문을 해결하고, 엔트로피와 콜모고로프 복잡도를 사용하여 애매한 군에 대해 역을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the extent to which the Lov\'asz Local Lemma (an important tool in probabilistic combinatorics) can be adapted for the measurable setting. In most applications, the Lov\'asz Local Lemma is used to produce a function $f \colon X o Y$ with certain properties, where $X$ is some underlying combinatorial structure and $Y$ is a (typically finite) set. Can this function $f$ be chosen to be Borel or $\mu$-measurable for some probability Borel measure $\mu$ on $X$ (assuming that $X$ is a standard Borel space)? In the positive direction, we prove that if the set of constraints put on $f$ is, in a certain sense, "locally finite," then there is always a Borel choice for $f$ that is "$\varepsilon$-close" to satisfying these constraints, for any $\varepsilon > 0$. Moreover, if the combinatorial structure on $X$ is "induced" by the $[0;1]$-shift action of a countable group $\Gamma$, then, even without any local finiteness assumptions, there is a Borel choice for $f$ which satisfies the constraints on an invariant conull set (i.e., with $\varepsilon = 0$). A direct corollary of our results is an upper bound on the measurable chromatic number of the graph $G_n$ generated by the shift action of the free group $\mathbb{F}_n$ that is asymptotically tight up to a factor of at most $2$ (which answers a question of Lyons and Nazarov). On the other hand, our result for structures induced by measure-preserving group actions is, at least for amenable groups, sharp in the following sense: a probability measure-preserving action of a countably infinite amenable group satisfies the measurable version of the Lov\'asz Local Lemma if and only if it admits a factor map to the $[0;1]$-shift action. To prove this, we combine the tools of the Ornstein--Weiss theory of entropy for actions of amenable groups with concepts from computability theory, specifically, Kolmogorov complexity.

연구 동기 및 목표

• 해결책이 측정 가능하거나 보렐 구조를 존중해야 하는 측정 가능 및 보렐 설정으로 로바슈 국소 렘마를 확장하기.
• 특히 군 작용의 맥락에서 국소 제약 조건을 만족하는 측정 가능 또는 보렐 함수를 구성할 수 있는 조건을 규명하기.
• 리즈와 나자로프가 제기한 자유 군 Fn의 이동 그래프에 대한 측정 가능 색수 문제를 해결하기.
• 엔트로피와 콜모고로프 복잡도를 사용하여 애매한 군의 확률 측도를 보존하는 작용이 측정 가능 LLL를 만족하는 조건을 특성화하기.

제안 방법

• 측정 가능한 설정을 위한 LLL의 근사 버전을 도입하고, 제약 조건을 ε-근접하게 만족하는 함수의 존재를 증명하기.
• 메소드-타르도스 알고리즘 프레임워크를 구조적 확률적 방법을 통해 측정 가능 및 보렐 설정에 적응시켜 사용하기.
• 애매한 군 작용에 대한 옹스타인-우즈 엔트로피 이론의 도구를 활용하여 제약 조건의 점점 더 날카운 행동을 분석하기.
• 콜모고로프 복잡도와 균일한 이산성(uniform discreteness)을 사용하여 나쁜 사건과 그 이웃의 구조 분석하기.
• 크기와 제약 강도에 따라 매개변수화된 군 작용의 카일리 그래프 위에서 보렐 인스턴스의 수열을 구성하기.
• 엔트로피와 측도 이론적 추론을 사용하여, 애매한 군에 대해 측정 가능 LLL가 성립하는 것은 작용이 [0,1]-이동 작용으로의 팩터 맵을 갖는 것과 동치임을 보여주는 역 결과를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 조합 구조에서 국소 제약 조건을 만족하는 측정 가능 또는 보렐 함수를 생성하기 위해 로바슈 국소 렘마를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 자유 군 Fn의 이동 작용에 의해 생성된 그래프의 측정 가능 색수는 얼마이며, n에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 애매한 군의 경우, 국소 제약 체계에 측정 가능한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 애매한 군 작용에 대한 측정 가능 LLL는 [0,1]-이동 작용으로의 팩터 맵을 갖는 것과 동치인가?
• RQ5 엔트로피와 콜모고로프 복잡도는 제약 체계에 측정 가능한 해가 존재하는 것을 특성화하는 데 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 자유 군 Fn에 의해 생성된 이동 그래프의 측정 가능 색수는 최대 2Δ + 2이며, 이 경계는 인자 2 범위 내에서 점점 더 날카롭다.
• 모든 ε > 0에 대해, 제약 체계가 국소 유한할 경우, 제약 조건을 ε-근접하게 만족하는 보렐 함수가 존재한다.
• 만약 군 작용이 가산 군의 [0,1]-이동 작용에 의해 유도된다면, 거의 전역 불변 집합에서 제약 조건을 만족하는 보렐 해가 존재한다.
• 애매한 군의 경우, 확률 측도를 보존하는 작용이 측정 가능 LLL를 만족하는 것은 그 작용이 [0,1]-이동 작용으로의 팩터 맵을 갖는 것과 동치이다.
• 작용의 엔트로피가 무한일 때이고 그저 그 경우에만, 임의로 큰 LLL 인스턴스가 ε-정확한 해를 갖는다. 이는 측정 가능한 해의 존재를 의미한다.