[논문 리뷰] Measure and integration on Boolean algebras of regular open subsets in a topological space

Marcus Pivato, Vassili Vergopoulos|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 07.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위상공간의 정규 열린집합들의 부울 대수에서 정의된 유한히 가법 측도(내용)에 대한 통합 및 표현 이론을 개발한다. 이러한 내용은 경계 측도 공유를 지정하는 림날 구조를 갖춘 정상 Borel 측도로 표현될 수 있으며, 내용 공간, 그 스톤 공간, 그리고 Gleason 확률 공간 간의 함자적 관계가 수립된다.

ABSTRACT

The regular open subsets of a topological space form a Boolean algebra, where the `join' of two regular open sets is the interior of the closure of their union. A `credence' is a finitely additive probability measure on this Boolean algebra, or on one of its subalgebras. We develop a theory of integration for such credences. We then explain the relationship between credences, residual charges, and Borel probability measures. We show that a credence can be represented by a normal Borel measure, augmented with a `liminal structure', which specifies how two or more regular open sets share the probability mass of their common boundary. In particular, a credence on a locally compact Hausdorff space can be represented by a normal Borel measure and a liminal structure on the Stone-Čech compactification of that space. We also show how credences can be represented by Borel measures on the Stone space of the underlying Boolean algebra of regular open sets. Finally, we show that these constructions are functorial.

연구 동기 및 목표

• 정규 열린집합들의 부울 대수에서 정의된 유한히 가법 측도(내용)에 대한 통합 이론을 개발하기 위해.
• 내용, 잔여 전하, 고전적 Borel 측도 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 국소적으로 컴act한 하우스도르프 공간에서의 내용이 그 스톤-체흐 컴팩트리케이션 상의 정상 Borel 측도와 림날 구조로 표현될 수 있음을 보여주기 위해.
• 정규 열린집합들의 부울 대수에서의 내용이 그 대수의 스톤 공간 상의 Borel 측도로 표현될 수 있음을 보여주기 위해.
• 내용 공간, 그 컴팩트리케이션, Gleason 확률 공간 간의 함자적 관계를 수립하기 위해.

제안 방법

• 합집합의 폐포의 내부를 사용하여 정규 열린집합의 집합에 부울 대수의 구조를 정의한다.
• 고전적 측도를 일반화하는, 이산적으로 가법적이며 실수 값을 갖는 함수로서 내용을 정의한다.
• 이러한 내용에 대해 실수값 함수에 대한 통합 이론을 구축한다.
• 스톤-체흐 컴팩트리케이션 상의 정상 Borel 측도로 내용을 표현하며, 공유 경계 측도를 코딩하는 림날 구조를 추가한다.
• 스톤 공간 구성법을 사용하여 내용을 정규 열린집합들의 부울 대수의 스톤 공간 상의 Borel 측도로 표현한다.
• 함자적 성질을 수립하기 위해, 전체 내용 공간의 범주에서 컴팩트한 전체 내용 공간의 범주와 Gleason 확률 공간의 범주로의 함자를 정의하며, 사상과 측도 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 열린집합들의 부울 대수에서의 유한히 가법 내용은 고전적 Borel 측도와 추가 구조를 통해 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 림날 구조는 정규 열린집합들의 공통 경계에서 측도 이론적 행동을 어떻게 포괄하는가?
• RQ3 내용에 대한 통합 이론은 체계적으로 발전시킬 수 있으며, 표준 측도 이론 개념과 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ4 스톤 공간과 스톤-체흐 컴팩트리케이션 구성법은 내용을 Borel 측도로 표현하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 내용 공간, 그 컴팩트리케이션, Gleason 확률 공간 간에 어떤 함자적 관계가 존재하는가?

주요 결과

• 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간에서의 내용은 그 스톤-체흐 컴팩트리케이션 상의 정상 Borel 측도와 공유 경계 측도를 지정하는 림날 구조로 표현될 수 있다.
• 정규 열린집합들의 부울 대수의 스톤 공간은 원래 내용을 표현하는 Borel 측도를 지닌다.
• 전체 내용 공간에서 컴팩트한 전체 내용 공간로의 함자 β는 충실하며, 사상의 구조를 유지한다.
• 전체 내용 공간에서 Gleason 확률 공간으로의 함자 σ 역시 충실하며, 완전한 부울 대수의 스톤 공간은 극단적으로 비연결되어 있다.
• 스톤 공간 상의 Borel 측도로 내용을 표현하는 것은 내용 대수와 스톤 공간 상의 측도 대수 사이의 표준적 동형사상( canonical isomorphism )을 제공한다.
• 림날 구조의 구성은 겹치는 정규 열린집합들이 일관되게 경계 측도를 공유하도록 보장하며, 고전적 측도 이론의 위상적 병리 현상을 해결한다.